Desenhe o gráfico de f e de seu plano tangente no ponto dado. (Utilize um sistema algébrico computacional tanto para computar as derivadas parciais quanto para traçar os gráficos da função e de seu plano tangente.) Em seguida faça uma ampliação até que a superfície e o plano tangente se tornem indistinguíveis.

10-

f(x, y) = raiz(1 + 4*x^2 + 4*y^2) / (1 + x^4 + y^4), (1, 1, 1)

Passo 1

E aí, pessoal! Beleza?

Nessa questão nós temos a função

f x , y = 1 + 4 x 2 + 4 y 2 1 + x 4 + y 4

Precisamos fazer o gráfico de f , bem como do seu plano tangente no ponto 1,1 , 1 .  

Para fazer o gráfico nós vamos usar um software para nos auxiliar. Para o caso do plano tangente, vamos precisar lembrar o que ele é e como nós obtemos. Aí depois disso fazemos o seu gráfico utilizando um software também.

Tranquilo? Então vamos lá...

Passo 2

Antes de começar a plotar gráficos, vamos lembrar como obter o plano tangente?

Suponha que f tenha derivadas parciais contínuas. Uma equação do plano tangente à superfície z = f ( x , y ) no ponto P x 0 , y 0 , z 0 é dada por

z - z 0 = f x x 0 , y 0 x - x 0 +   f y x 0 , y 0 y - y 0 ,

onde, no nosso caso, P x 0 , y 0 , z 0 = ( 1,1 , 1 ) .

Agora que sabemos como obter a equação do plano tangente a f , vamos às contas...

Passo 3

Utilizando o Symbolab, vemos que as derivadas parciais dessa função gigante são:

f x = - 12 x 5 - 16 x 3 y 2 - 4 x 3 + 4 x y 4 + 4 x 1 + x 4 + y 4 2 1 + 4 x 2 + 4 y 2

f y = - 12 y 5 - 16 x 2 y 3 - 4 y 3 + 4 x 4 y + 4 y 1 + x 4 + y 4 2 1 + 4 x 2 + 4 y 2

Uau, ainda bem que não precisa fazer isso na mão!

Precisaremos plotar a função f e seu plano tangente que será igual a:

z - 1 = f x 1,1 x - 1 + f y 1,1 y - 1

Aplicando o ponto ( 1,1 , 1 ) nas derivadas parciais, temos:

f x 1,1 = - 8 9

f y 1,1 = - 8 9

Portanto, o plano tangente é

z = 1 - 8 9 x - 1 - 8 9 ( y - 1 )

Passo 4

Agora, basta que a gente coloque as equações de f e do plano tangente em um software para plotar os gráficos.

O gráfico da função f e do plano tangente serão:

Aproximando no ponto A temos:

Note que, quando damos zoom no gráfico de f , o plano tangente cada vez mais se confunde com o gráfico de f .

Resposta

Gráficos no passo 4.

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