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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.4 - Ex. 11

Nos exercícios 11 a 17, determinar a integral curvilínea do campo vetorial f → ao longo da curva C dada.

11. f → x , y = ( x , y ) ; C é o quadrado de vértices ( - 1 , - 1 ) ,   ( - 1,1 ) , ( 1,1 ) e ( 1 , - 1 ) no sentido anti-horário.

Passo 1

Bom! Vamos pra mais um probleminha de integral de linha! Nós queremos trabalhar com a seguinte integral:

∫ C f → x , y d r →

Que também pode ser escrita como:

∫ C P d x + Q d y

E a nossa força f → x , y é dada por:

f → x , y = ( x , y )

Sendo assim, ficamos com:

∫ C x , y d r → = ∫ C | x | d x + y d y

Onde:

P = | x |

Q = y

Passo 2

Aí você já deve estar pensando! Partiu fazer todas aqueles passos e contas de problemas anteriores com contas cabulosas e tal. Só que não! Porque o Teorema de Green veio aqui pra nos ajudar.

E o que é teorema de Green. Bom! Esse teorema veio pra simplificar nossa vida! Através dele, a integral de linha pode ser escrita como:

∫ C P d x + Q d y = ∫ ∫ C ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y d A

E como sabemos que:

P = | x |

Q = y

Bora então, pro nosso cálculo:

∫ ∫ C ∂ y ∂ x - ∂ | x | ∂ y d A = ?

Ia lá! A derivada parcial de y em relação a x é zero e a derivada parcial de | x | em relação a y também vai valer zero. Logo, nossa integral curvilínea vai valer:

∫ ∫ C ∂ y ∂ x - ∂ | x | ∂ y d A = ∫ ∫ C 0 ⋅ d A = 0

Resposta

V a l o r   d a   i n t e g r a l   c u r v i l í n e a = 0

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