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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.2 - Ex. 21

Calcule a integral de linha ∫ C F → ∙ d r → , onde C é dada pela função vetorial r → t .

F → x ,   y = sen ⁡ x i ^ + cos ⁡ y j ^ + x z   k ^

r → t = t 3   i ^ - t 2   j ^ + t   k ^ ,           0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Faala, galera!

Vamos calcular uma integral de linha, do caso vetorial! Nós temos o campo vetorial e a parametrização da curva.

Temos que lembrar que uma integral de linha vetorial é calculada assim:

∫ C F → ∙ d r → = ∫ a b F → r → t ∙ r → ' t d t

Onde C é parametrizada por r → , com a ≤ t ≤ b .

Pra resolver isso, vamos começar calculando a derivada da parametrização, r → ' t , que é só derivar cada uma das componentes de r → . Depois, podemos calcular a integral usando a fórmula.

Passo 2

Nossa parametrização é dada por:

r → t = t 3 , - t 2 , t

Então a derivada fica:

r → ' t = d d t t 3 , d d t - t 2 , d d t t

r → ' t = 3 t 2 , - 2 t , 1

Passo 3

Agora podemos usar a fórmula!

∫ C F → ∙ d r → = ∫ a b F → r → t ∙ r → ' t d t

As informações que temos são:

F → x ,   y = sen ⁡ x , cos ⁡ y , x z

r → t = t 3 , - t 2 , t

0 ≤ t ≤ 1

r → ' t = 3 t 2 , - 2 t , 1

Então a integral fica assim:

= ∫ 0 1 F → t 3 , - t 2 , t ∙ 3 t 2 , - 2 t , 1 d t

= ∫ 0 1 sen ⁡ t 3 , cos ⁡ - t 2 , t 3 ∙ t ∙ 3 t 2 , - 2 t , 1 d t

Como cos ⁡ - θ = cos ⁡ θ , temos:

= ∫ 0 1 sen ⁡ t 3 , cos ⁡ t 2 , t 4 ∙ 3 t 2 , - 2 t , 1 d t

Pra resolver esse produto escalar multiplicamos as coordenadas correspondentes e somamos:

= ∫ 0 1 3 t 2 sen ⁡ t 3 - 2 t cos ⁡ t 2 + t 4 d t

Passo 4

Agora só precisamos calcular essa integral!

Vamos dividir em três integrais:

= ∫ 0 1 3 t 2 sen ⁡ t 3 d t - ∫ 0 1 2 t cos ⁡ t 2 d t + ∫ 0 1 t 4 d t

Começando com a primeira integral, vamos fazer uma substituição u = t 3 :

d u = 3 t 2 d t

u 0 = 0

u 1 = 1

Então:

∫ 0 1 3 t 2 sen ⁡ t 3 d t = ∫ 0 1 sen ⁡ u d u

= - cos ⁡ u 0 1

Resolvendo:

= cos ⁡ 0 - cos ⁡ 1

∫ 0 1 3 t 2 sen ⁡ t 3 d t = 1 - cos ⁡ 1

Para a segunda integral, fazemos uma substituição u = t 2

d u = 2 t d t

u 0 = 0

u 1 = 1

Então:

∫ 0 1 2 t cos ⁡ t 2 d t = ∫ 0 1 cos ⁡ u d u

= sen ⁡ u 0 1

Calculando nos limites de integração:

= sen ⁡ 1 - sen ⁡ 0

∫ 0 1 2 t cos ⁡ t 2 d t = sen ⁡ 1

E a última integral, calculamos direto:

∫ 0 1 t 4 d t = t 5 5 0 1

= 1 5

Voltando pra integral original:

= ∫ 0 1 3 t 2 sen ⁡ t 3 d t - ∫ 0 1 2 t cos ⁡ t 2 d t + ∫ 0 1 t 4 d t

= 1 - cos ⁡ 1 - sen ⁡ 1 + 1 5

Então:

∫ C F → ∙ d r → = 6 5 - cos ⁡ 1 - sen ⁡ 1

Resposta

6 5 - cos ⁡ 1 - sen ⁡ 1

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