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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.2 - Ex. 15

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

∫ C x + y z d x + 2 x   d y + x y z   d z   ,

C consiste nos segmentos de reta de 1 ,   0 ,   1 a 2 ,   3 ,   1 e de 2 ,   3 ,   1 a ( 2 ,   5 ,   2 ) .

Passo 1

E aii galera, beleza? Vamos começar!

Precisamos calcular a seguinte integral de linha:

∫ C x + y z d x + 2 x   d y + x y z   d z

Onde, C consiste nos segmentos de reta de 1 ,   0 ,   1 a 2 ,   3 ,   1 e de 2 ,   3 ,   1 a ( 2 ,   5 ,   2 ) .

E agora? Vamos pensar juntos!

Perceba que temos dois segmentos de reta, certo?

Um deles é a reta que une os pontos:

1 ,   0 ,   1 a 2 ,   3 ,   1

E o outro é a reta que une:

2 ,   3 ,   1 a ( 2 ,   5 ,   2 )

Sabendo disso, nosso objetivo é parametrizar essas retas em função de t . Vamos chamar de t , para você ir se habituando pois os livros utilizando muito essa letra.

Como é uma parametrização de reta entre dois pontos? Dado um ponto A e um ponto B :

A = x 1 , y 1 , z 1   e   B = ( x 2 , y 2 , z 2 )

Primeiro achamos o vetor no sentido da reta. Supondo que estamos indo do ponto A até o ponto B . Vamos ter:

A B → = B - A

A B → = x 2 , y 2 , z 2 - x 1 , y 1 , z 1 = ( a , b , c )

O resultado desse vetor, ou seja, os termos a , b e c serão os coeficientes angulares da nossa reta parametrizada. Ficando assim, a reta parametrizada:

x = x 1 + a t

y = y 1 + b t

z = z 1 + c t

0 ≤ t ≤ 1

Feito isso você deve montar sua integral de linha, ou seja, substituir as parametrizações na integral. Mas repare que temos duas retas, certo? Logo teremos duas integrais, uma para cada reta:

∫ C 1 x + y z d x + 2 x   d y + x y z   d z + ∫ C 2 x + y z d x + 2 x   d y + x y z   d z

Última coisa antes de você começar!! Os valores de d x , d y e d z você encontra derivando as parametrizações em relação a d t . Fazendo desse jeito:

d x d t ;   d y d t ;   d z d t

Ai é só isolar a variável d x , d y e d z em cada caso e substituir na integral.

Bora lá começar!!!

Passo 2

Vamos começar parametrizando os segmentos de reta, beleza!

Vamos começar pelo segmento de reta: 1 ,   0 ,   1 a 2 ,   3 ,   1 e vamos chamá-lo de C 1 .

Vamos aplicar a seguinte fórmula que mencionamos antes:

A B → = B - A

A B → = x 2 , y 2 , z 2 - x 1 , y 1 , z 1 = ( a , b , c )

Onde,

A = 1 ,   0 ,   1 a B = 2 ,   3 ,   1

Assim temos que:

A B → = 1,3 , 0 = ( a , b , c )

Agora vamos achar a parametrização:

x = x 1 + a t

y = y 1 + b t

z = z 1 + c t

Substituindo temos:

x = 1 + t

y = 3 t

z = 1

Onde,

0 ≤ t ≤ 1

Passo 3

Agora vamos fazer a parametrização do outro segmento de reta.

O segmento que une os pontos de: 2 ,   3 ,   1 a ( 2 ,   5 ,   2 ) e vamos chamá-lo de C 2 .

A ideia é a mesma que aplicamos no passo 2.

Vamos aplicar a seguinte fórmula que mencionamos antes:

A B → = B - A

A B → = x 2 , y 2 , z 2 - x 1 , y 1 , z 1 = ( a , b , c )

Onde,

A = 2 ,   3 ,   1 a B = ( 2 ,   5 ,   2 )

Assim temos que:

A B → = 0,2 , 1 = ( a , b , c )

Agora vamos achar a parametrização:

x = x 1 + a t

y = y 1 + b t

z = z 1 + c t

Substituindo temos:

x = 2

y = 3 + 2 t

z = 1 + t

Onde,

0 ≤ t ≤ 1

Passo 4

Já temos as parametrizações dos dois segmentos de reta:

C 1 :

x = 1 + t y = 3 t z = 1

0 ≤ t ≤ 1

C 2 :

x = 2 y = 3 + 2 t z = 1 + t

0 ≤ t ≤ 1

Agora podemos montar nossa integral:

∫ C 1 x + y z d x + 2 x   d y + x y z   d z + ∫ C 2 x + y z d x + 2 x   d y + x y z   d z

Mas repare que vamos precisar achar d x , d y e d z em cada curva. Para isso, é só aplicar as derivadas da parametrização em relação a t e isolar d x , d y e d z .

d x d t ;   d y d t ;   d z d t

Vamos fazer isso. Para a curva C 1 temos:

d x = 1   d t d y = 3   d t d z = 0   d t

Para a curva C 2 temos:

d x = 0   d t d y = 2 d t d z = 1   d t

Galera, agora é só substituir na integral e resolver.

Passo 5

Vamos substituir na integral. Como vai ficar muito grande, vamos separar as duas integrais e no final fizemos a soma delas, beleza!?

Fazendo isso vamos ter:

Para C 1 :

= ∫ 0 1 ( 1 + t + 3 t 1 )   d t + 2 1 + t     3   d t + 1 + t 3 t 1     0   d t

Para C 2 :

= ∫ 0 1 2 + 3 + 2 t 1 + t     0   d t + 2 2     2   d t + 2 3 + 2 t 1 + t   d t

Agora vamos simplificar o máximo possível, somando os termos. Vamos ficar com:

Para C 1 :

= ∫ 0 1 ( 4 t + 1 )   d t + 6 t + 6     d t + 0  

= ∫ 0 1 ( 10 t + 7 )   d t

Para C 2 :

= ∫ 0 1 0 + 8   d t + 6 + 6 t + 4 t + 4 t 2   d t

= ∫ 0 1 4 t 2 + 10 t + 12   d t

Agora sim, podemos somar as duas integrais novamente. Vamos ter:

= ∫ 0 1 ( 10 t + 7 )   d t + ∫ 0 1 4 t 2 + 10 t + 12   d t

Como o intervalo de integração é igual para ambas, podemos somar os termos e fazer uma única integral. Desse jeito:

∫ 0 1 ( 4 t 2 + 20 t + 21 ) d t

Passo 6

Agora vamos resolver a integral.

Integrando em relação a d t , vamos ter:

4 t 3 3 + 10 t 2 + 21 t 0 1

Aplicando os limites de integração, ficamos com:

4 3 + 10 + 21

Logo nossa resposta é:

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Resposta

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Calcule a integral de linha ∫ C F → ∙ d r → , onde C é dada pela função vetorial r → t . F → x ,y = x + yi ^ + y - z j ^ + z 2k ^ r → t = t 2i ^ + t 3j ^ + t 2k ^ , 0 ≤ t ≤ 1
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