Enunciado

Calcule a integral de linha ∫ C F   .   d r , onde C é dada pela função vetorial r t .

F x ,   y = x + y   i + y - z j + z 2   k   ,                     r t = t 2   i + t 3   j + t 2   k   ,           0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Galera, temos que escrever a integral de linha assim:

∫ C F   .   d r = ∫ 0 1 F r t   .   r ' t   d t

Mas,

F r t = t 2 + t 3   i + t 3 - t 2   j + t 4   k

r ' t = 2 t   i + 3 t 2   j + 2 t   k

Então,

∫ 0 1 F r t   .   r ' t   d t = ∫ 0 1 t 2 + t 3 ,   t 3 - t 2 ,   t 4   .   2 t ,   3 t 2 ,   2 t   d t = ∫ 0 1 2 t 3 + 2 t 4 + 3 t 5 - 3 t 4 + 2 t 5   d t = ∫ 0 1 2 t 3 - t 4 + 5 t 5   d t

Passo 2

Agora é só resolver a integral obtida:

∫ 0 1 2 t 3 - t 4 + 5 t 5   d t = t 4 2 - t 5 5 + 5 t 6 6 0 1 = 1 2 - 1 5 + 5 6 = 1 30 15 - 6 + 25 = 17 15

Resposta

17 15

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios 11 a 17, determinar a integral curvilínea do campo vetorial f → ao longo da curva C dada.12. f → x , y , z = ( x 2 , 1 / y , x z ) ; C é o segmento de reta que une o ponto A ( 2,1 , 0 )
Nos exercícios 11 a 17, determinar a integral curvilínea do campo vetorial f → ao longo da curva C dada.15. f → x , y , z = ( x ,y , z ) ; C é a interseção das superfícies x 2 + y 2 - 2 y = 0 e z = y
Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:21. ∫ C z d x + y d y - x d z , onde C é a intersecção das superfícies y + z = 8 e x 2 + y 2 + z 2 - 8 z = 0 . Considere os dois possíve
Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:23. ∫ C x d x + y d y + x d z , onde C é a intersecção das superfícies z = x 2 + y 2 e x = 2 do ponto A ( 2 ,- 12 ,4 ) ao ponto B ( 2 ,1
Nos exercícios 18 a 25, calcular as integrais curvilíneas dadas:22. ∫ C d x + d y + d z , onde C é a intersecção das superfícies y + z = 5 e z = 4 - x 2 do ponto A ( 2 ,5 ,0 ) ao ponto B ( - 2 ,5 ,0 )