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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.2 - Ex. 20

Calcule a integral de linha ∫ C F → ∙ d r → , onde C é dada pela função vetorial r → t .

F → x ,   y = x + y   i ^ + y - z j ^ + z 2   k ^

r → t = t 2   i ^ + t 3   j ^ + t 2   k ^ ,     0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

E aii, galera, beleza?

Essa questão pede pra gente calcular uma integral de linha, e nós temos o campo vetorial F → e a parametrização da curva r → .

Vamos usar a fórmula:

∫ C F → ∙ d r → = ∫ a b F → r → t ∙ r → ' t d t

Onde C é parametrizada por r → , com a ≤ t ≤ b .

Então, como já temos a parametrização, vamos começar calculando o r → ' t (que é só derivar cada uma das componentes em função de t ), depois podemos aplicar a integral.

Passo 2

Como a parametrização da curva C é:

r → t = t 2 , t 3 , t 2

A derivada é:

r → ' t = d d t t 2 , d d t t 3 , d d t t 2

r → ' t = 2 t , 3 t 2 , 2 t

Passo 3

Agora podemos montar a integral:

∫ C F → ∙ d r → = ∫ a b F → r → t ∙ r → ' t d t

Lembrando as informações que temos:

F → x ,   y = x + y , y - z , z 2

r → t = t 2 , t 3 , t 2

0 ≤ t ≤ 1

r → ' t = 2 t , 3 t 2 , 2 t

Então:

= ∫ 0 1 F → t 2 , t 3 , t 2 ∙ 2 t , 3 t 2 , 2 t d t

= ∫ 0 1 t 2 + t 3 , t 3 - t 2 , t 2 2 ∙ 2 t , 3 t 2 , 2 t d t

Pra fazer esse produto, vamos multiplicar coordenada a coordenada, e somar:

= ∫ 0 1 t 2 + t 3 2 t + t 3 - t 2 3 t 2 + t 4 ∙ 2 t d t

= ∫ 0 1 2 t 3 + 2 t 4 + 3 t 5 - 3 t 4 + 2 t 5 d t

Passo 4

Então a integral que temos que calcular é essa:

= ∫ 0 1 5 t 5 - t 4 + 2 t 3 d t

= 5 t 6 6 - t 5 5 + 2 t 4 4 0 1

Substituindo os limites de integração:

= 5 6 - 1 5 + 2 4 - 0

= 25 - 6 + 15 30 = 34 30

E achamos o valor da integral:

∫ C F → ∙ d r → = 17 15

Resposta

17 15

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