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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.2 - Ex. 1

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

int_C y^3 d s , C : x = t^3 , y = t , 0 <= t <= 2

Passo 1

Galera, a gente tem que escrever a integral de linha como uma integral iterada, mudando para a variável t , conforme a curva C .

Como 0 <= t <= 2 , 0 e 2 vão ser os limites de integração. Como y = t , substituímos y^3 = t^3 . E além disso, temos:

d s = sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2) d t = sqrt((3 t^2)^2 + (1)^2) d t = sqrt(9 t^4 + 1) d t

Juntando todas essas informações, podemos escrever:

int_C y^3 d s = int_0^2 t^3 sqrt(9 t^4 + 1) d t

Passo 2

Agora vamos resolver a integral obtida:

int_0^2 t^3 sqrt(9 t^4 + 1) d t

Essa integral sai fácil por substituição simples, pois a derivada do que está no interior da raíz vai resultar em t^3 que é um termo que está na integral e será cancelado depois, portanto faremos:

u = 9 t^4 + 1

d u = 36 t^3 d t

d t = (d u)/(36 t^3)

Substituindo na integral, teremos:

int_()^() t^3 sqrt(u) (d u)/(36 t^3) = (1)/(36) int_()^() sqrt(u) d u

Lembrando que sqrt(u) = u^((1)/(2))

(1)/(36) int_0^2 u^((1)/(2)) d u = (1)/(36) ((u^((1)/(2) + 1))/((1)/(2) + 1))

= (1)/(36) ((u^((3)/(2)))/((3)/(2)))

= (2)/(36 * 3) u^((3)/(2)) = (2)/(108) sqrt(u^3)

E por fim desfaz-se a substituição e coloca os limites da integral

= (1)/(54) sqrt((9 t^4 + 1)^3) [[2],[0]]

= (1)/(54) (sqrt(((9 * 2^4) + 1)^3) - sqrt(1^3))

= (1)/(54) (sqrt(145^3) - 1)

= (145 sqrt(145) - 1)/(54)

Resposta

(145 sqrt(145) - 1)/(54)

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