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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.2 - Ex. 2

Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.

int_C x y d s , C : x = t^2 , y = 2 t , 0 <= t <= 1

Passo 1

Galera, a gente tem que escrever a integral de linha como uma integral iterada, mudando para a variável t , conforme a curva C .

Como 0 <= t <= 1 , 0 e 1 vão ser os limites de integração. Também teremos:

x y = t^2 . 2 t = 2 t^3

d s = sqrt(((d x)/(d t))^2 + ((d y)/(d t))^2) d t = sqrt((2 t)^2 + (2)^2) d t = sqrt(4 t^2 + 4) d t = 2 sqrt(t^2 + 1) d t

Juntando todas essas informações, podemos escrever:

int_C x y d s = int_0^1 4 t^3 sqrt(t^2 + 1) d t

Passo 2

Agora vamos resolver a integral obtida, substituindo:

u = t^2 + 1

d u = 2 t d t

int_0^1 4 t^3 sqrt(t^2 + 1) d t = int_1^2 2 (u - 1) sqrt(u) d u = int_1^2 2 (u^((3)/(2)) - u^((1)/(2))) d u = 2 [(u^((5)/(2)))/((5)/(2)) - (u^((3)/(2)))/((3)/(2))]_1^2 = 4 ((4 sqrt(2))/(5) - (2 sqrt(2))/(3) - (1)/(5) + (1)/(3)) = (4)/(15) (12 sqrt(2) - 10 sqrt(2) - 3 + 5) = (8)/(15) (sqrt(2) + 1)

Resposta

(8)/(15) (sqrt(2) + 1)

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O fio mostrado na Figura 9.22 conduz uma corrente i . Determinar a intensidade do campo magnético B → no centro de C do semicírculo, produzido:Por um dos segmentos de reta de comprimento l .