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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 6.2 - Ex. 3

Calcule ∫ γ x   d x + y   d y + z d z , onde γ é o segmento de extremidades 0,0 , 0 e 1,2 , 1 , percorridos no sentido de 1,2 , 1 para 0,0 , 0 .

Passo 1

Nosso problema é bastante simples. Vamos parametrizar nossa reta e descobri quem são nossos x , y , z , d x , d y e d z e função de uma parâmetro t e qual será o seu limite de integração. Desta forma teremos todas as ferramentas necessárias para calcular nossa integral.

Passo 2

Vamos primeiro parametrizar a nossa reta. Vamos recordar geometria analítica, onde uma reta é definida como um ponto e um vetor. (poderíamos fazer esse passo direto, mas vamos brincar um pouco). Assim nosso ponto pode ser o primeiro ponto dado 0,0 , 0 , enquanto o nosso vetor será

v → = 1,2 , 1 - 0,0 , 0 = 1,2 , 1

Desta forma teremos que qualquer ponto x , y , z da nossa reta é dado por

x , y , z = 1,2 , 1 - t 1,2 , 1

Assim temos

x = 1 - t

y = 2 - 2 t

z = 1 - t

Com nosso t variando de 0 à 1 .

Se essas são nossas coordenadas, então derivando temos que

d x = - d t , d y = - 2 d t e d z = - d t

Passo 3

Assim podemos escrever nossa integral como

∫ γ x   d x + y   d y + z   d z = ∫ 0 1 ( 1 - t )   ( - d t ) + ( 2 - 2 t ) ( -   2 d t ) + ( 1 - t ) ( - d t )

Isolando d t e ajeitando os termos, ficamos com

= ∫ 0 1 t - 1 + 4 t - 4 + t - 1 d t = ∫ 0 1 6 t - 6 d t = 3 t 2 - 6 t 0 1 = - 3

Resposta

- 3

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