Expresse D como a região do tipo I e também como uma região do tipo II. Em seguida, calcule a integral dupla de duas maneiras.

∬ D x y d A

D é limitada pelas retas y = x 2 , y = 3 x

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês?

Nessa questão, temos uma região D e precisamos expressar como região do tipo I e do tipo II, e calcular a integral dupla das duas maneiras.

∬ D x y d A

D é limitada pelas retas y = x 2 , y = 3 x .

Vamos pensar juntos, ok?

Parar resolver, vamos lembrar de região tipo I e II.

Uma região do tipo I é uma região limitada acima e abaixo por uma curva, além disso, é limitada lateralmente por retas verticais. A região e a integral têm essa cara:

Já uma região do tipo II é o contrário. É uma região limitada lateralmente por curvas, mas acima e abaixo por retas horizontais. Logo, vamos ter:

Sabendo disso, e só esboçar nossa região D no formato tipo I e II. Lembrando que para escrever no formato do tipo II, e só escrevermos x ( y ) . Já os pontos de intersecção entre as curvas, basta igualarmos as expressões.

Agora ficou moleza ein! Vamos seguir esses passos e gabaritar essa!

Passo 2

Primeiramente, vamos esboçar a nossa região. Portanto,

Em vermelho temos a reta:

y r e t a = 3 x

Em verde temos a parábola:

y p a r á b o l a = x 2

Observe que nossa região D é a que está em amarelo, entre essas duas curvas.

As duas curvas se intersectam nos pontos A e B . Para determinar esses pontos de intersecção, vamos igualar as funções:

y r e t a = y p a r á b o l a

3 x = x 2

x 2 - 3 x = 0

x x - 3 = 0

Portanto, a intersecção entre as curvas ocorre no ponto A = ( 0,0 ) e no ponto B = 3,9 .

Passo 3

Agora podemos começar a escrever a nossa região.

Como a região do tipo I é limitada acima por uma curva e abaixo por outra:

Agora, avaliando nossa figura temos que:

D = x , y 0 ≤ x ≤ 3 ,   x 2 ≤ y ≤ 3 x }

Assim, podemos montar nossa integral como:

∫ 0 3 ∫ x 2 3 x x y d y d x

Passo 4

Nosso objetivo agora é resolver essa integral dupla definida na região tipo I.

∫ 0 3 ∫ x 2 3 x x y d y d x

Lembra que começamos a integrar de dentro para fora.

Integrando em d y , temos:

∫ 0 3 x ⋅ y 2 2 x 2 3 x d x

Aplicando os limites de integração:

∫ 0 3 x ⋅ 9 x 2 2 - x 4 2 d x

∫ 0 3 9 x 3 2 - x 5 2 d x

Agora ficamos com uma integral simples em d x . Integrando, vamos ter:

9 x 4 8 - x 6 12 0 3

= 729 8 - 243 4 = 243 8

Logo a integral na região tipo I é:

∫ 0 3 ∫ x 2 3 x x y d y d x = 243 8

Passo 5

Já fizemos para a região do tipo I.

Agora, vamos escrever a nossa região como uma região do tipo II. Portanto, ela é limitada a esquerda por uma curva e a direita por outra curva.

Lembre-se que precisamos escrever x em função de y , x ( y ) . Avaliando nossa figura, temos que:

Acima ela é limitada pela reta y = 9 (se resume a um ponto) e abaixo por outra reta y = 0 . Observem que estas retas são dadas pelos pontos de interseção das curvas. Logo,

D = x , y y 3 ≤ x ≤ y ,   0 ≤ y ≤ 9 }

Portanto, a nossa integral fica:

∫ 0 9 ∫ y 3 y x y d x d y

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral dupla do tipo II.

∫ 0 9 ∫ y 3 y x y d x d y

Lembre-se que sempre começamos a integrar de dentro para fora. Integrando em d x vamos ter:

∫ 0 9 y x 2 2 y 3 y d y

Aplicando os limites de integração:

∫ 0 9 y 2 2 - y 3 18 d y

Agora ficamos com uma integral simples em d y . Integrando temos que:

y 3 6 - y 4 72 0 9

Aplicando os limites de integração:

= 243 2 - 729 8 = 243 8

Logo a integral na região tipo II é:

∫ 0 9 ∫ y 3 y x y d x d y = 243 8

Observe que obtemos as mesmas respostas na integral do tipo I e na integral do tipo II. Isso ocorre devido à continuidade da função e à aplicação do teorema de Fubini.

Resposta

∫ 0 3 ∫ x 2 3 x x y d y d x = ∫ 0 9 ∫ y 3 y x y d x d y = 243 8

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