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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.2 - Ex. 19

Calcule a integral de linha ∫ C F → ∙ d r → , onde C é dada pela função vetorial r → t .

F → x ,   y = x y   i ^ + 3 y 2   j ^

r → t = 11 t 4   i ^ + t 3   j ^   ,           0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Faala, pessoal!

Essa questão pede pra calcularmos uma integral de linha vetorial, dado um campo vetorial F → e uma curva C parametrizada.

Temos que lembrar que uma integral de linha do caso vetorial é calculada assim:

∫ C F → ∙ d r → = ∫ a b F → r → t ∙ r → ' t d t

Onde C é parametrizada por r → , com a ≤ t ≤ b .

Pra resolvermos essa questão, a gente vai começar calculando r → ' t , já que já temos a parametrização (é só derivar cada coordenada de r → em função de t ).

Depois, vamos aplicar essa fórmula da integral e calcular!

Passo 2

A parametrização da curva é dada por:

r → t = 11 t 4 , t 3

0 ≤ t ≤ 1

Calculando a derivada:

r → ' t = d d t 11 t 4 , d d t t 3

r → ' t = 44 t 3 , 3 t 2

Passo 3

Então, vamos calcular a integral assim:

∫ C F → ∙ d r → = ∫ 0 1 F → 11 t 4 , t 3 ∙ 44 t 3 , 3 t 2 d t

Lembrado que F → x , y = x y , 3 y 2 :

= ∫ 0 1 11 t 4 ∙ t 3 , 3 t 3 2 ∙ 44 t 3 , 3 t 2 d t

= ∫ 0 1 11 t 7 , 3 t 6 ∙ 44 t 3 , 3 t 2 d t

Pra calcular esse produto, multiplicamos coordenada a coordenada e somamos:

= ∫ 0 1 11 t 7 ∙ 44 t 3 + 3 t 6 ∙ 3 t 2 d t

= ∫ 0 1 44 ∙ 11 t 10 + 9 t 8 d t

Passo 4

Agora podemos calcular a integral:

= ∫ 0 1 44 ∙ 11 t 10 + 9 t 8 d t

= 44 ∙ 11 t 11 11 + 9 t 9 9 0 1

Simplificando:

= 44 t 11 + t 9 0 1

= 44 ∙ 1 + 1 - 0

E achamos o valor da integral!

∫ C F → ∙ d r → = 45

Resposta

45

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