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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.7 - Ex. 56

Determine uma equação do plano que passa pelo ponto 1 ,   2 ,   3 e que corta o menor volume do primeiro octante.

Passo 1

Galera, qualquer plano vai cortar o primeiro octante como um tetraedro, e aí nós precisamos minimizar o volume desse tetraedro. Vamos escrever a equação do plano como:

x a + y b + z c = 1

de forma que o volume do tetraedro vai ser dado por:

V = a b c 6

Passo 2

Mas 1 ,   2 ,   3 pertence ao plano, então temos que a seguinte equação é satisfeita:

1 a + 2 b + 3 c = 1

Multiplicamos os dois lados por a b c :

b c + 2 a c + 3 a b = a b c

c = 3 a b a b - b - 2 a

Então podemos escrever o volume V em função apenas de a e b :

V ( a ,   b ) = a b 6 3 a b a b - b - 2 a

V a ,   b = a 2 b 2 2 a b - b - 2 a

Passo 3

Show! Agora vamos determinar a derivada parcial de V em relação a a e igualá-la a 0 :

V a = 2 a b 2 a b - b - 2 a - a 2 b 2 b - 2 2 a b - b - 2 a 2 = a 2 b 3 - 2 a b 3 - 2 a 2 b 2 2 a b - b - 2 a 2 = 0

a b 2 a b - 2 b - 2 a = 0

a = 2 b b - 2

Passo 4

Beleza! Agora vamos determinar a derivada parcial de V em relação a b e igualá-la a 0 :

V b = 2 a 2 b   a b - b - 2 a - a 2 b 2 a - 1 2 a b - b - 2 a 2 = a 3 b 2 - a 2 b 2 - 4 a 3 b 2 a b - b - 2 a 2 = 0

a 2 b   a b - b - 4 a = 0

a = b b - 4

Passo 5

Agora vamos igualar os dois valores de a encontrados:

a = 2 b b - 2 = b b - 4

2 b - 8 = b - 2

b = 6

Então a gente joga esse valor de b na expressão de a :

a = b b - 4 = 6 6 - 4 = 3

Com os valores de a e b , podemos encontrar também o valor de c :

c = 3 a b a b - b - 2 a = 3   .   3   .   6 3   .   6 - 6 - 2   .   3 = 9

Então a equação do plano, quando a gente substitui os valores de a , b e c , fica assim:

x 3 + y 6 + z 9 = 1

Resposta

x 3 + y 6 + z 9 = 1

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