Calcule a integral de linha ∫ C F   .   d r , onde C é dada pela função vetorial r t .

F x ,   y = s e n   x   i + cos ⁡ y j + x z   k   ,                     r t = t 3   i - t 2   j + t   k   ,           0 ≤ t ≤ 1

Passo 1

Galera, temos que escrever a integral de linha assim:

∫ C F   .   d r = ∫ 0 1 F r t   .   r ' t   d t

Mas,

F r t = s e n t 3 i + cos ⁡ - t 2 j + t 3 t   k

Como a função cosseno é par, então podemos usar cos ⁡ - t 2 = c o s ⁡ ( t 2 )

F r t = s e n t 3   i + cos ⁡ ( t 2 ) j + t 4   k

r ' t = 3 t 2   i - 2 t   j + k

Então,

∫ 0 1 F r t   .   r ' t   d t = ∫ 0 1 s e n t 3 , cos ⁡ t 2 ,   t 4   .   3 t 2 ,   - 2 t ,   1   d t = ∫ 0 1 3 t 2   s e n t 3 - 2 t cos ⁡ t 2 + t 4 d t

Passo 2

Agora é só resolver a integral obtida:

∫ 0 1 3 t 2   s e n t 3 - 2 t cos ⁡ t 2 + t 4 d t = - cos ⁡ t 3 - s e n t 2 + t 5 5 0 1 = - cos ⁡ 1 - s e n   1 + 1 5 + 1 + 0 - 0 = 6 5 - s e n   1 - cos ⁡ 1

Resposta

6 5 - s e n   1 - cos ⁡ 1

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