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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.2 - Ex. 6

Encontre a derivada e enuncie a fórmula de integração correspondente.

Passo 1

Olá, pessoal do RA! Nesse exercício precisamos lembrar um pouco da parte de derivadas para nos ajudar a começar a resolver. Nisso, o essencial vai ser saber os métodos de derivação pra calcular cada caso e, pra isso, pega uma tabelinha ou uma lista de derivadas e vamos começar!!

Passo 2

Então, primeiro precisamos saber qual método de derivação é adequado pra calcular o que é dado. Como há uma razão de duas funções de x que á variável de interesse na derivação, podemos usar a derivação pela regra do quociente que é dada por:

d d x f x g x = f ' x ∙ g x - f x ∙ g ' x g x 2

Então, a partir da função inicial dada, vamos definir:

f x = x e g x = x 2 + 3

Precisamos encontrar a derivada de cada uma delas para substituir na equação da regra do quociente. Portanto:

f ' x = 1

E

g ' x = 2 x

Logo:

d d x x x 2 + 3 = 1 x 2 + 3 - x 2 x x 2 + 3 2 = - x 2 + 3 x 2 + 3 2

Passo 3

Encontrado o resultado da derivação, sabemos que a integral indefinida é como o caminho “inverso” ao da derivada (dito antiderivada). Pelo Teorema no item 5.2 . 2 (na página 323 do livro CÁLCULO VOL. 1 - 10ª ED - ANTON), temos que essa integral indefinida de uma função f x em um intervalo aberto pode ser dada pela fórmula geral:

∫ f x d x = F x + C

Onde C é uma constante arbitrária.

Então, integrando esse último resultado, teremos a forma geral da antiderivada da função dada por:

∫ 3 - x 2 x 2 + 3 2 d x = x x 2 + 3 + C

Resposta

d d x x x 2 + 3 = - x 2 + 3 x 2 + 3 2

∫ 3 - x 2 x 2 + 3 2 d x = x x 2 + 3 + C

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