Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.6 - Ex. 2
Calcule a integral , onde
utilizando três ordens diferentes de integração.
Passo 1
Olá, galera! Tudo bem?
A questão quer o cálculo de:
onde
Em 3 ordens de integração diferentes.
Essa região é de onde vamos tirar os limites de integração.
Lembra que, quando temos integrais triplas, calculamos de forma iterada? Ou seja, numa ordem específica, começando pela “de dentro” até chegar na integral mais de fora. Vamos fazer o mesmo processo, mas cada vez com uma variável diferentes sendo a integral “de dentro”.
Bora lá!
Passo 2
Que tal integrar primeiro em relação a , depois e depois ?
Começando em então, tratamos como constante:
Aplicando os limites de integração:
Agora integrando em relação a tratando com constante:
Aplicando os limites de integração:
Fazendo a integral que resta:
Aplicando os limites, temos finalmente:
Passo 3
Show! Agora vamos integrar primeiro em relação a , depois e depois :
Integrando em , tratando as outras variáveis como constantes:
Aplicando os limites de integração:
Integrando em , fazendo constante:
Aplicando os limites:
Agora finalizamos integrando em :
Passo 4
Beleza! Pra finalizar, podemos fazer a seguinte ordem: integrar primeiro em relação a , depois e depois :
Integrando em , considerando e constantes:
Aplicando os limites em :
Integrando em , fazendo constante:
Aplicando os limites:
Finalizando a integral em :
Aplicando os limites:
Resposta
Para qualquer uma das 3 ordens.