Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada.

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ∫ 0 2 - 2 z d y d z d x

Passo 1

Faaaaaala turma, tudo bem?

Nosso objetivo é esboçar o solido cujo volume é dado pela seguinte integral iterada:

∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ∫ 0 2 - 2 z d y d z d x

Vamos pensa juntos!

Temos uma integral de volume do tipo

∭ E 1   d V

Onde, d V = d y d z d x

E nossa região E , pelas variações:

E = x , y , z   0 ≤ x ≤ 1 ,   0 ≤ z ≤ 1 - x ,   0 ≤ y ≤ 2 - 2 z }

A partir dessa região E que vamos esboçar o sólido.

Observe no eixo z , o sólido está variando entre dois planos. São eles:

z = 0

z = 1 - x

Já no eixo y , o sólido está variando entre os planos:

y = 0

y = 2 - 2 z

Sabendo disso, a ideia é esboçar no tridimensional esses planos. Utilize o Geogebra, ele vai facilitar a compreensão dos planos no tridimensional.

Borá fazer isso!!!

Passo 2

Vamos focar primeiro nos planos em z .

Sabemos que o solido está entre os dois planos:

z = 0

z = 1 - x

Vamos ver como fica esse esboço com o Geogebra. Logo temos:

O plano inclinado em vermelho é o plano z = 1 - x . Já o plano em azul que está no plano x y , é o plano z = 0 .

Agora vamos avaliar os planos em y .

Temos que o sólido está entre os seguintes planos:

y = 0

y = 2 - 2 z

Novamente utilizando o Geogebra, vamos ter:

O plano inclinado em roxo é o plano y = 2 - 2 z . Já o plano em verde que está no plano x z , é o plano y = 0 .

Passo 3

Agora vamos unir os quatros sólidos que encontramos.

Fazendo isso com o auxílio do Geogebra vamos ter o seguinte sólido:

Nesta imagem temos os quatros planos, e foque na figura formado pelas linhas em preto. Essa figura é união dos pontos de encontro dos planos, e também onde eles cortam os eixos.

Elas surgem dessas limitações imposta no enunciado:

Lembra que ele falou no enunciado que o intervalo de x varia de:

0 ≤ x ≤ 1

E também sabemos que ele é limitado pelos planos:

z = 0

y = 0

Portanto o sólido de nosso interesse é exatamente o sólido formado pelas linhas pretas. Olhe essa figura:

Resposta

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