Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.7 - Ex. 12
Calcule a integral tripla.
Onde está abaixo do plano e acima da região triangular com vértices , e .
Passo 1
Fala, gente bonita! Tudo certinho?
Simbora fazer mais uma questão bomba?
Ela quer o cálculo dessa integral tripla aqui:
Onde as informações dessa região são as seguintes:
i) está abaixo do plano .
ii) acima da região triangular com vértices (0,0,0), (π,0,0) e (0,π,0).
Precisamos entender primeiramente qual o domínio que estamos trabalhando.
Observem que a região triangular está contida no plano (as três coordenadas são todas iguais a 0). Portanto, temos:
Agora, precisamos entender o comportamento desta região triangular. Podemos descrever esta região como tanto do tipo I quanto do tipo II.
Escolhendo-a como do tipo I, ou seja, os pontos no eixo são bem definidos, enquanto no eixo a região é delimitada por funções.
Assim,
Antes da gente jogar na integral, precisamos ter cuidado na hora de escolher a ordem de integração!
Percebe que somente o tem pontos bem definidos (já que é uma região do Tipo I), enquanto os eixos e tem funções como limites?
Como o resultado deve ser um número, integrar em relação a com valores certinhos deve ser nossa última preocupação.
Portanto, temos a seguinte integral:
Passo 2
Precisamos começar integrando de dentro para fora, ou seja, primeiro em relação a .
Colocando para fora da integral como se fosse uma constante, e resolvendo:
Substituindo os limites de integração, teremos
Passo 3
Agora, precisamos integrar em relação a . Logo,
Colocando o para fora, também como constante, fazemos
Resolvendo o integrando...
Substituindo!
Relembrando que
Então,
Passo 4
Por fim, basta integrarmos em relação a .
Podemos dividir essa integral em duas:
A primeira podemos resolver pela técnica da integral por partes, já que temos um polinômio e uma função trigonométrica. Assim, jogamos na fórmula com essa cara aqui:
Onde, para nosso exemplo:
Assim,
Resolvendo:
Já a nossa segunda integral, resolvemos tranquilamente:
E como essas duas integrais possuem os mesmos limites de integração, iremos uni-las novamente e substituir:
Show de bola! 😊