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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 28

Calcule a integral

28. int (sec sqrt(x))/(sqrt(x)) d x

Passo 1

Aqui começamos por uma substituição simples, onde temos:

u = sqrt(x)

e

d u = (1)/(2 sqrt(x)) d x

Manipulamos nossa função um pouco e vamos ter:

int (sec sqrt(x))/(sqrt(x)) d x = 2 int (sec sqrt(x))/(2 sqrt(x)) d x

Passo 2

Assim, já podemos aplicar a substituição nela. Teremos:

2 int (sec sqrt(x))/(2 sqrt(x)) d x = 2 int sec u d u

A integral da secante é tabelada, e tem o seguinte resultado genérico:

int sec u d u = (ln |sec u + tan u|)/(u ') + C

Não é no momento do nosso interesse fazer a demonstração de como se chega a essa integral, portanto vamos apenas resolvê-la, como pede o exercício.

Aqui, basta aplicarmos o arco dessa tangente no lugar de u e u ' pra obtermos o resultado.

Passo 3

Vamos ter:

2 int sec u d u = 2 (ln |sec u + tan u|)/(u ') + C

Sendo u = sqrt(x) e u^' = (d u)/(d x) = (1)/(2 sqrt(x)) , retornamos à variável original:

int (sec sqrt(x))/(sqrt(x)) d x = 2 (ln |sec sqrt(x) + tan sqrt(x)|)/((1)/(2 sqrt(x))) =

= 4 sqrt(x) (ln |sec sqrt(x) + tan sqrt(x)|) + C

Resposta

int (sec sqrt(x))/(sqrt(x)) d x = 4 sqrt(x) (ln |sec sqrt(x) + tan sqrt(x)|) + C

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