Calcule a integral

28. ∫ sec ⁡ x x d x

Passo 1

Aqui começamos por uma substituição simples, onde temos:

u = x

e

d u = 1 2 x d x

Manipulamos nossa função um pouco e vamos ter:

∫ sec ⁡ x x d x = 2 ∫ sec ⁡ x 2 x d x

Passo 2

Assim, já podemos aplicar a substituição nela. Teremos:

2 ∫ sec ⁡ x 2 x d x = 2 ∫ sec ⁡ u d u

A integral da secante é tabelada, e tem o seguinte resultado genérico:

∫ sec ⁡ u d u = ln ⁡ sec ⁡ u + tan ⁡ u u ' + C

Não é no momento do nosso interesse fazer a demonstração de como se chega a essa integral, portanto vamos apenas resolvê-la, como pede o exercício.

Aqui, basta aplicarmos o arco dessa tangente no lugar de u e u ' pra obtermos o resultado.

Passo 3

Vamos ter:

2 ∫ sec ⁡ u d u = 2 ln ⁡ sec ⁡ u + tan ⁡ u u ' + C

Sendo u = x e u ' = d u d x = 1 2 x , retornamos à variável original:

∫ sec ⁡ x x d x = 2 ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x 1 2 x =

= 4 x ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + C

Resposta

∫ sec ⁡ x x d x = 4 x ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + C

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