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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.6 - Ex. 2a

Determine o centro de massa do gráfico da função dada.

f x = 4 - x 2 ,     - 2 ≤ x ≤ 2

Passo 1

Para encontrar o centro de massa ( x c , y c ) do gráfico de uma função no intervalo a , b usamos as fórmulas

x c = 1 L ∫ a b x 1 + f ' ( x ) 2   d x

y c = 1 L ∫ a b f x 1 + f ' ( x ) 2   d x

Onde L é o comprimento da função que é dado por

L = ∫ a b 1 + f ' ( x ) 2   d x

Neste caso o nosso intervalo é x ∈ - 2,2 .

Passo 2

Calculando primeiramente a derivada da função

f ' x = - 2 x 2 4 - x 2 = - x 4 - x 2

E agora calculando o comprimento

L = ∫ - 2 2 1 + - x 4 - x 2 2   d x

= ∫ - 2 2 1 + x 2 4 - x 2   d x = ∫ - 2 2 4 - x 2 + x 2 4 - x 2   d x

= ∫ - 2 2 4 4 - x 2   d x = 2 ∫ - 2 2 1 4 - x 2   d x

Aplicando a substituição trigonométrica

x = 2 sen ⁡ u d x = 2 cos ⁡ u d u

Esquecendo os limites de integração por enquanto

2 ∫ 1 4 - x 2   d x = 2 ∫ 2 cos ⁡ u d u 4 - 4 sen 2 ⁡ u

= 4 ∫ cos ⁡ u d u 4 1 - sen 2 ⁡ u = 4 ∫ cos ⁡ u d u 2 cos ⁡ u

= 2 ∫ d u = 2 u + C

Retornando à variável x , sabendo que

sen ⁡ u = x 2

u = arcsen ⁡ x 2

Então temos

2 ∫ 1 4 - x 2   d x = 2 arcsen ⁡ x 2 + C

E o comprimento

L = 2 arcsen ⁡ x 2 - 2 2 = 2 arcsen ⁡ 1 - arcsen ⁡ - 1

= 2 π 2 - - π 2 = 2 π

Passo 3

Por fim calculamos as coordenadas do centro de massa

x c = 1 2 π ∫ - 2 2 x 1 + f ' ( x ) 2   d x = 1 2 π ∫ - 2 2 2 x 4 - x 2   d x

Fazendo a substituição

u = 4 - x 2 d u = - 2 x   d x

Calculando sem os limites

1 2 π ∫ 2 x 4 - x 2 d x = - 1 2 π ∫ d u u

= - 1 2 π ∫ u - 1 2   d u = - 1 2 π 2 u 1 2 + C

= - 1 π u + C

Retornando à variável x

1 2 π ∫ 2 x 4 - x 2 d x = - 1 π 4 - x 2 + C

Nos limites

x c = 1 π - 4 - x 2 - 2 2 = 1 π - 4 - 2 2 + 4 - ( - 2 ) 2

x c = 0

Passo 4

E a coordenada y c

y c = 1 2 π ∫ - 2 2 f x 1 + f ' ( x ) 2   d x = 1 2 π ∫ - 2 2 4 - x 2 2 4 - x 2   d x

= 1 π ∫ - 2 2 d x = 1 π x - 2 2

= 1 π 2 - ( - 2 )

y c = 4 π

Logo o centro de massa do gráfico da função está na coordenada

0 , 4 π

Resposta

0 , 4 π

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