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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 3.6 - Ex. 2c

Determine o centro de massa do gráfico da função dada.

f x = e x + e - x 2 ,     - 1 ≤ x ≤ 1

Passo 1

Para encontrar o centro de massa ( x c , y c ) do gráfico de uma função no intervalo a , b usamos as fórmulas

x c = 1 L ∫ a b x 1 + f ' ( x ) 2   d x

y c = 1 L ∫ a b f x 1 + f ' ( x ) 2   d x

Onde L é o comprimento da função que é dado por

L = ∫ a b 1 + f ' ( x ) 2   d x

Neste caso o nosso intervalo é x ∈ - 1 , 1 .

Passo 2

Calculando primeiramente a derivada da função

f ' x = e x - e - x 2

E agora calculando o comprimento

L = ∫ - 1 1 1 + e x - e - x 2 2   d x

= ∫ - 1 1 1 + e 2 x - 2 e x e - x + e - 2 x 4   d x = ∫ - 1 1 1 + e 2 x - 2 + e - 2 x 4   d x

= ∫ - 1 1 4 + e 2 x - 2 + e - 2 x 4   d x = ∫ - 1 1 e 2 x + 2 + e - 2 x 4   d x

Temos um quadrado perfeito no numerador

∫ - 1 1 e x + e - x 2 4   d x = ∫ - 1 1 e x + e - x 2   d x

= 1 2 e x - e - x - 1 1 = 1 2 e 1 - e - 1 - e - 1 - e 1

L = e - e - 1

Passo 3

Por fim calculamos as coordenadas do centro de massa

x c = 1 L ∫ - 1 1 x 1 + f ' ( x ) 2   d x = 1 L ∫ - 1 1 x e x + e - x 2   d x

= 1 2 L ∫ - 1 1 x e x   d x + ∫ - 1 1 x e - x   d x

Para calcular as integrais, vamos calcular a integral genérica

∫ x e a x   d x

Calculando por partes

∫ f ⋅ g '   d x = f ⋅ g - ∫ f ' ⋅ g   d x

Neste caso nossas funções são

f = x g ' = e a x   →   f ' = 1 g = e a x a

∫ x e a x   d x = x e a x a - 1 a ∫ e a x d x

= x e a x a - 1 a e a x a = x e a x a - e a x a 2

Então temos

x c = 1 2 L x e x - e x - x e - x - e - x - 1 1

x c = 1 2 L e 1 - e 1 - e - 1 - e - 1 - - e - 1 - e - 1 + e 1 - e 1

= 1 2 L - 2 e - 1 + 2 e - 1 = 0

Passo 4

E a coordenada y c

y c = 1 L ∫ - 1 1 f x 1 + f ' ( x ) 2   d x = 1 L ∫ - 1 1 e x + e - x 2 e x + e - x 2   d x

= 1 L ∫ - 1 1 e x + e - x 2 2 d x = 1 4 L ∫ - 1 1 e 2 x + 2 + e - 2 x   d x

= 1 4 L e 2 x 2 + 2 x - e - 2 x 2 - 1 1

= 1 4 L e 2 2 + 2 - e - 2 2 - e - 2 2 - 2 - e 2 2 = 1 4 L 4 + e 2 2 - e - 2 2 - e - 2 2 + e 2 2

= 1 4 L 4 + e 2 - e - 2

y c = 4 + e 2 - e - 2 4 e - e - 1

Logo o centro de massa do gráfico da função está na coordenada

0 , 4 + e 2 - e - 2 4 e - e - 1

Resposta

0 , 4 + e 2 - e - 2 4 e - e - 1

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Calcule ∫ - 1 1 x 3 e x 4 d x
Calcule ∫ 0 1 1 1 + x d x