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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.1 - Ex. 29

Questão 29: calcule a integral indefinida

int_0^2 x e^(2 x) d x

Passo 1

Entendendo o problema

  1. Note que se você usar a técnica de substituição (a mais simples e mais usada ) não Note que o integrando " x e^(2 x) " não possui a forma [( sqrt(a^2 - x^2) ), ( sqrt(a^2 + x^2) ), ( sqrt(x^2 - a^2) )]que é preciso para usar a técnica de substituição trigonométrica.
  2. Além disso, o integrando não possui a forma necessária para usar as técnicas de integrais por frações parciais que é (p ( X ))/(q (x)) onde p ( X )e q (x) são polinômios

Obs ; Esse passo é fundamental pois, numa prova você não vai ter no enunciado da questão resolva essa integral por “uma técnica x ”.

Logo tentaremos integração por partes. Integração por partes envolve produto de duas funções.

Devemos usar integração por partes , devemos primeiro encontrar os termos da formula ;

Passo 2

Seja f(x) = x derivando f’(x) = 1

g’(x) = e^(2 x) integrando g(x) = (e^(2 x))/(2)

Substituindo na formula, temos;

int x e^(2 x) d x = (x . e^(2 x))/(2) - int (e^(2 x))/(2) d x

= (x . e^(2 x))/(2) - (e^(2 x))/(4)

Passo 3

Aplicando os intervalos, temos;

int_0^2 x e^(2 x) d x = (x . e^(2 x))/(2) - (e^(2 x))/(4) | [[2],[0]]

= ( (2 . e^4)/(2) - (e^4)/(4) ) – (= (0 . e^0)/(2) - (e^0)/(4) )

= e^4 - (e^4)/(4) + (1)/(4)

= e^4 ( 1 - (1)/(4) ) + (1)/(4)

= e^4 ( (3)/(4) ) + (1)/(4)

= (3)/(4) e^4 + (1)/(4)

Resposta

int_0^2 x e^(2 x) d x = (3)/(4) e^4 + (1)/(4)

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