Questão 29: calcule a integral indefinida

∫ 0 2 x e 2 x     d x

Passo 1

Entendendo o problema

  1. Note que se você usar a técnica de substituição (a mais simples e mais usada ) não Note que o integrando   " x e 2 x " não possui a forma [( a 2 - x 2 ), ( a 2 + x 2 ), ( x 2 - a 2 )]que é preciso para usar a técnica de substituição trigonométrica.
  2. Além disso, o integrando não possui a forma necessária para usar as técnicas de integrais por frações parciais que é p ( X ) q x onde p ( X )e q x são polinômios

Obs ; Esse passo é fundamental pois, numa prova você não vai ter no enunciado da questão resolva essa integral por “uma técnica x ”.

Logo tentaremos integração por partes. Integração por partes envolve produto de duas funções.

Devemos usar integração por partes , devemos primeiro encontrar os termos da formula ;

Passo 2

Seja f(x) = x derivando f’(x) = 1

g’(x) = e 2 x integrando g(x) = e 2 x 2

Substituindo na formula, temos;

∫ x e 2 x   d x = x . e 2 x 2 - ∫   e 2 x 2   d x

= x . e 2 x 2 - e 2 x 4

Passo 3

Aplicando os intervalos, temos;

∫ 0 2 x e 2 x     d x = x . e 2 x 2 - e 2 x 4 | 2 0

= (   2 . e 4 2 - e 4 4 ) – (= 0 . e 0 2 - e 0 4 )

= e 4 - e 4 4 + 1 4

= e 4   (   1 - 1 4 ) + 1 4

=   e 4 ( 3 4 ) + 1 4

=     3 4 e 4 +     1 4

Resposta

∫ 0 2 x e 2 x     d x =     3 4 e 4 +     1 4

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