Use a Definição 2 para achar uma expressão para a área sob o gráfico de como um limite. Não calcule o limite.

f(x) = raiz(x, 4), 1 ≤ x ≤ 16

Passo 1

Bom galera, primeiro vamos ver qual é a Definição 2. De acordo com ela, a área da função é dada por:

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i . ∆ x

Onde:

∆ x = b - a n

e

x i = a + i ∆ x

Sendo b e a os intervalos onde queremos encontrar a área.

Nessa questão queremos apenas encontrar o limite (não precisa calcular).

Sabendo que

f x = x 4

E queremos encontrar essa área entre

1 ≤ x ≤ 16

Passo 2

Temos que

∆ x = b - a n

Sabendo que:

a = 1         e         b = 16

Então já podemos calcular ∆ x :

∆ x = 16 - 1 n = 15 n

E agora já conseguimos calcular x i :

x i = 1 + 15 n i

Lançando tudo isso na área, que é definida pela definição 2, temos:

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n x i 4 . ∆ x

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 1 + 15 i n 4 . 15 n

E é só , afinal não precisamos calcular esse limite.

Resposta

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 1 + 15 i n 4 . 15 n

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