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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.11 - Ex. 4

Se

int_0^((pi)/(2)) 9 cos^2 t d t = (9 pi)/(4)

Calcular

int_0^((pi)/(2)) - cos^2 theta d theta

Passo 1

Primeiramente temos que nos lembrar de uma regra muito importante de integração que é:

int_b^a c ( f (x) ) d x = c int_b^a f ( x ) d x

Passo 2

Vamos analisar a nossa primeira integral e usar o teorema acima:

int_0^((pi)/(2)) 9 cos^2 t d t = (9 pi)/(4) <=> int_0^((pi)/(2)) cos^2 t d t = (9)/(4) xx (1)/(9) = (pi)/(4)

Passo 3

Agora, vamos realizar uma subsituição de variável.

Fazendo t = theta e derivando essa equação em relação a t, temos que :

(d theta)/(d t) = (d t)/(d t) => d t = d theta

Substituindo na nossa equação original temos:

int_0^((pi)/(2)) cos^2 theta d theta = (pi)/(4)

Multiplicando os dois lados por -1 e usando nossa propriedade do passo 1, chegamos em:

int_0^((pi)/(2)) - cos^2 theta d theta = - (pi)/(4)

Resposta

- (pi)/(4)

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