Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.4 - Ex. 40
Calcule a integral.
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... queremos calcular a seguinte integral definida:
Antes de pensar em calcular a integral, temos que melhorar essa função, deixá-la com uma carinha mais amigável, para isso vamos usar as definições de seno e cosseno hiperbólicos:
E
(Dica: para decorar essas definições, decore apenas uma e lembre-se que o seno (sem) é menos.)
Substituir na função e simplificar, iremos sair em uma função bem mais tranquila!
Agora para calcular a integral devemos calcular primeiro a indefinida para encontrar a primitiva e, depois, aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, que diz o seguinte:
Que a integral definida é tipo medir a área sob a curva de entre dois pontos, digamos e . É como calcular o espaço que a função ocupa no gráfico.
Aqui vem o truque! Se você conhece uma antiderivada de , a integral definida de entre e é igual a . Ou seja, a diferença entre os valores da antiderivada nos pontos e .
Por que isso é legal? Bem, você pode usar antiderivadas conhecidas pra calcular integrais definidas sem ficar somando pedacinhos infinitesimais (soma de Riemann). É tipo um atalho matemágico! 🎩✨
Fica dessa forma:
Isso somente se entre e a função for contínua, isso é sem buracos, saltos ou quinas.
Lembre-se também que:
E essa é a única primitiva que vamos precisar usar.
Agora bora aplicar!! 😉
Passo 2
Então agora vamos simplificar um pouco a nossa expressão!
Para isso, sabemos que:
E
Assim, substituindo na integral e simplificando, obtemos:
E até parece magica que conseguimos sair em uma integral tão simples, agora vamos resolvê-la, conforme a função tabelada que mostramos no passo 1:
E não se esqueça da constante !
Passo 3
Logo, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos:
Cuidado redobrado com os sinais, as vezes a gente erra coisas simples!
E prontinho! A integral que parecia super complicada ficou bem mais simples!
Curtiu, Responde Aí!
