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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 6.11 - Ex. 28

int_0^((pi)/(2)) (c o s x)/((1 + s e n x)^5) d x

Passo 1

Quando numa integral aparece seno e cosseno no numerador e denominador respectivamente, ou vice -versa é bom lembrarmos que um é derivada do outro. Então se fizermos uma substituição de variável no denominador já conseguimos deixar nosso numerador mais agradável.

Passo 2

Seja

u = 1 + s e n x

Derivando com relação a x a equação acima

(d u)/(d x) = (d ( 1 + s e n x ))/(d x) = c o s x ⟹ d u = c o s x d x

Substituindo na nossa integral

int_(x = 0)^(x = (pi)/(2)) (1)/(u^5) d u = int_(x = 0)^(x = (pi)/(2)) u^(- 5) d u = - (u^(- 4))/(4)

Passo 3

Retornando para nossa variável inicial

int_(x = 0)^(x = (pi)/(2)) u^(- 5) d u = - (u^(- 4))/(4) = - ((1 + s e n x)^(- 4))/(4) (​|_0 -> (pi)/(2) = (15)/(64)

Resposta

int_0^((pi)/(2)) (c o s x)/((1 + s e n x)^5) d x = (15)/(64)

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