∫ 0 π 2 c o s x 1 + s e n x 5 d x    

Passo 1

Quando numa integral aparece seno e cosseno no numerador e denominador respectivamente, ou vice -versa é bom lembrarmos que um é derivada do outro. Então se fizermos uma substituição de variável no denominador já conseguimos deixar nosso numerador mais agradável.

Passo 2

Seja

u = 1 + s e n x

Derivando com relação a x a equação acima

d u d x = d ( 1 + s e n x ) d x = c o s x ⟹ d u = c o s x d x  

Substituindo na nossa integral

∫ x = 0 x = π 2 1 u 5 d u =   ∫ x = 0 x = π 2 u - 5 d u   = - u - 4 4

Passo 3

Retornando para nossa variável inicial

  ∫ x = 0 x = π 2 u - 5 d u   = - u - 4 4 = - 1 + s e n x - 4 4   ​ 0 → π 2 = 15 64

Resposta

∫ 0 π 2 c o s x 1 + s e n x 5 d x = 15 64    

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