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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.7 - Ex. 15

Calcule a integral de superfície.

∫ ∫ S   y   d S

S é a parte do paraboloide y = x 2 + z 2 que está dentro do cilindro x 2 + z 2 = 4

Passo 1

E aí, galerinha! De boa?

A questão pede a integral de superfície:

∫ ∫ S y   d S

Onde S é a parte do paraboloide

y = x 2 + z 2

que está dentro do cilindro

x 2 + z 2 = 4

Podemos usar a equação:

∬ S f ( x , y , z )   d S =   ∬ D f r x , y | r → x × r → y | d A

Então, vamos precisar achar uma parametrização para nosso paraboloide. Depois, devemos aplicar essas equações parametrizadas na nossa função do integrando:

f x , y , z = y  

Depois vamos derivar esses parâmetros para conseguirmos os vetores r → x e r → y e fazermos o produto vetorial entre eles. Calculamos pelas equações:

r → x = ∂ x ∂ x ,   ∂ y ∂ x ,   ∂ z ∂ x

E:

r → y = ∂ x ∂ y ,   ∂ y ∂ y ,   ∂ z ∂ y

Depois, é só substituirmos tudo isso na nossa equação, achar os limites de integração e resolver nossa integral!

Vamos lá!

Passo 2

O primeiro passo é parametrizar a superfície. Para o paraboloide se a gente usar x e z como parâmetros, teremos:

x = x

y = x 2 + y 2

z = z

Assim nosso vetor paramétrico fica:

r x ,   z = x   i + x 2 + z 2   j + z   k   ,                     x 2 + z 2 ≤ 4

Agora temos que calcular os vetores r → t e r → y :

  • r → x : Vamos substituir nossos parâmetros na equação:

    • r → x = ∂ x ∂ x ,   ∂ y ∂ x ,   ∂ z ∂ x = ∂ x ∂ x ,   ∂ x 2 + y 2 ∂ x ,   ∂ z ∂ x

    Derivando em relação x :

    r → x = 1 ,   2 x ,   0

  • r → y : Vamos substituir nossos parâmetros na equação:

    • r → x = ∂ x ∂ y ,   ∂ y ∂ y ,   ∂ z ∂ y = ∂ x ∂ y ,   ∂ x 2 + y 2 ∂ y ,   ∂ z ∂ y

    Derivando em relação x :

    r → x = 0 ,   2 y ,   0

    Passo 3

    Agora fazemos o produto vetorial de r → x por r → y :

    r → x × r → y = i ^ j ^ k ^ 0 2 y 0 1 2 x 0

    Para cada componente i , j e k , temos que multiplicar a matriz que achamos tirando a linha e a coluna da componente que estamos procurando. Depois, tiramos o determinante de cada matriz e ficamos com:

    r x × r z = i + 2 x   j + 0   k × 0   i + 2 z   j + 0 k = 2 x   i - j + 2 z   k

    Agora, podemos tirar o módulo r → u × r → v desse nosso vetor:

    r u × r v = x 2 + y 2 + z 2  

    Substituindo:

    r x × r z = 4 x 2 + 1 + 4 z 2 = 1 + 4 x 2 + z 2

    Passo 4

    Agora vamos pegar nossa função do integrando e substituir:

    f x , y , z = y  

    Pela equação do paraboloide dada no enunciado:

    y = x 2 + z 2

    Então:

    f r x , y = x 2 + z 2

    Show! Agora podemos escrever a integral assim:

    ∫ ∫ S   y   d S = ∬ x 2 + z 2 ≤ 4   x 2 + z 2 1 + 4 x 2 + z 2 d A

    Repara como não temos os limites de integração, mas temos a restrição:

    x 2 + z 2 ≤ 4

    Essa região representa um círculo de raio 2 , então podemos expressar nossa integral em coordenadas polares. Lembrando que no sistema de coordenadas polares:

    x 2 + y 2 = r 2

    x = r cos ⁡ θ

    y = r   s e n θ

    d A = r   d r   d θ

    Como temos uma circunferência completa e de raio 2 centrada na origem, nossos limites são:

    0 ≤ r ≤ 2

    0 ≤ θ ≤ 2 π

    Substituindo, temos:

    ∬ x 2 + z 2 ≤ 4   x 2 + z 2 1 + 4 x 2 + z 2 d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 2 1 + 4 r 2     r   d r   d θ

    Passo 5

    Agora vamos de fator resolver a integral:

    ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 2 1 + 4 r 2     r   d r   d θ

    Separando num produto de integrais:

    ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 2 r 2 1 + 4 r 2   r   d r

    Podemos começar resolvendo a integral de θ , já aplicando seus limites:

    2 π ∫ 0 2 r 2 1 + 4 r 2   r   d r

    Pra resolver a última integral, vamos fazer a seguinte substituição:

    u = 1 + 4 r 2  

    Isolando r :

          r 2 = 1 4 u - 1  

    Derivando u :

    1 8   d u = r   d r

    Nossos limites de integração mudam:

  • r = 2

    • u = 1 + 4 ⋅ 2 2 = 17

  • r = 0

u = 1 + 4 ( 0 ) 2 = 1

Substituindo:

2 π ∫ 0 2 r 2 1 + 4 r 2   r   d r = 2 π ∫ 1 17 1 4 u - 1 u   1 8   d u

Tirando as constantes para fora e manipulando a raiz:

= π 16 ∫ 1 17 u 3 2 - u 1 2 d u

Resolvendo a integral:

= π 16 2 5 u 5 2 - 2 3 u 3 2 1 17

Aplicando os limites de integração:

= π 16 2 5 17 2 17 - 2 3 17 17 - 2 5 + 2 3

Então:

∫ ∫ S   y   d S = π 60 391 17 + 1

Resposta

∫ ∫ S   y   d S = π 60 391 17 + 1

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Considerando que a superfície S é obtida girando a curva z = x 2 , 0 ≤ x ≤ 4 , em torno do eixo z , pede-seUma parametrização para S .
Calcule a área das seguintes superfíciesb) Superfície do cone z 2 = x 2 + y 2 situada entre os planos z = 0 e x + 2 z = 3 .
Considere γ o arco da parábola z = 3 - y 2 no plano y z compreendido entre as semi-retas z = z = 2 y e z = 11 2 y , com y ≥ 0 . Seja S a superfície obtida girando-se γ em torno do eixo z . Pede-se:b)
Considerando que a superfície S é obtida girando a curva z = x 2 , 0 ≤ x ≤ 4 , em torno do eixo z , pede-seb) A área da porção de S compreendida entre os cilindros x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4 .
Calcule a área das seguintes superfícies c) Superfície do sólido limitado pelo cone z 2 = x 2 + y 2 e a parte superior da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 .