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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.6 - Ex. 46

Determine a área da superfície.

A parte do paraboloide x = y 2 + z 2 que está dentro do cilindro y 2 + z 2 = 9

Passo 1

Para calcular a ára da superfície usamos:

A S = ∬ D 1 + ∂ x ∂ y 2 + ∂ x ∂ z 2 d A

Temos então que achar ∂ x ∂ y e ∂ x ∂ z , vamos lá:

∂ x ∂ y = ∂ y 2 + z 2 ∂ y = 2 y

∂ x ∂ z = ∂ y 2 + z 2 ∂ z = 2 z

Vamos deixar em coordenadas polares:

x = x                 y = r cos ⁡ θ                 z = r sen ⁡ θ

r 2 = y 2 + z 2 = x

0 ≤ r ≤ 3 ,       0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Pronto, é só agora substituir na integral:

A S = ∬ D 1 + ∂ x ∂ y 2 + ∂ x ∂ z 2 d A = ∬ 0 ≤ y 2 + z 2 ≤ 9 1 + 2 y 2 + 2 z 2 d A = ∬ 0 ≤ y 2 + z 2 ≤ 9 1 + 4 y 2 + 4 z 2 d A = ∬ 0 ≤ y 2 + z 2 ≤ 9 1 + 4 x d A = = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 1 + 4 r 2 r d r d θ = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 3 1 + 4 r 2 r d r = θ 0 2 π 1 12 1 + 4 r 2 3 2 0 3 = 2 π 1 12 1 + 4 . 3 2 3 2 - 1 12 1 + 4 . 0 2 3 2 = 2 π 1 12 37 3 2 - 1 12 = π 1 6 37 3 2 - 1 6

Resposta

A S = π 1 6 37 3 2 - 1 6

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Seja S uma superfície fechada tal que S = S 1 ∪ S 2 , onde S 1 e S 2 são as superfícies de revolução obtidas pela rotação em torno do eixo z das curvas C 1 : z = 1 - x , 0 ≤ x ≤ 1 e C 2 : z = 0 , 0 ≤
Calcule as seguintes integrais de superfície: ∬ S x y zd s , onde S é o triangulo de vértices ( 1,0 , 0 ) , ( 0,1 , 0 ) e ( 0,0 , 1 ) .
Calcule as seguintes integrais de superfície: ∬ S y 2 + z 2d s , onde S é a superfície do sólido limitado pela parte superior da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 e o cone z = x 2 + y 2 .
Determine a área da superfície.A parte da superfície z = 1 + 3 x + 3 y 2 que está acima do triângulo com vértices 0,0 , 0,1 e 2,1
Calcule a integral de superfície. ∫ ∫ Sx zd S S é a fronteira da região delimitada pelo cilindro y 2 + z 2 = 9 e pelos planos x = 0 e x + y = 5