Determine a área da superfície.

A parte do paraboloide x = y 2 + z 2 que está dentro do cilindro y 2 + z 2 = 9

Passo 1

Para calcular a ára da superfície usamos:

A S = ∬ D 1 + ∂ x ∂ y 2 + ∂ x ∂ z 2 d A

Temos então que achar ∂ x ∂ y e ∂ x ∂ z , vamos lá:

∂ x ∂ y = ∂ y 2 + z 2 ∂ y = 2 y

∂ x ∂ z = ∂ y 2 + z 2 ∂ z = 2 z

Vamos deixar em coordenadas polares:

x = x                 y = r cos ⁡ θ                 z = r sen ⁡ θ

r 2 = y 2 + z 2 = x

0 ≤ r ≤ 3 ,       0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Pronto, é só agora substituir na integral:

A S = ∬ D 1 + ∂ x ∂ y 2 + ∂ x ∂ z 2 d A = ∬ 0 ≤ y 2 + z 2 ≤ 9 1 + 2 y 2 + 2 z 2 d A = ∬ 0 ≤ y 2 + z 2 ≤ 9 1 + 4 y 2 + 4 z 2 d A = ∬ 0 ≤ y 2 + z 2 ≤ 9 1 + 4 x d A = = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 1 + 4 r 2 r d r d θ = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 3 1 + 4 r 2 r d r = θ 0 2 π 1 12 1 + 4 r 2 3 2 0 3 = 2 π 1 12 1 + 4 . 3 2 3 2 - 1 12 1 + 4 . 0 2 3 2 = 2 π 1 12 37 3 2 - 1 12 = π 1 6 37 3 2 - 1 6

Resposta

A S = π 1 6 37 3 2 - 1 6

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