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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.7 - Ex. 15

Calcule a integral de superfície.

∫ ∫ S x 2 y + z 2 d S

S é a parte do cilindro x 2 + y 2 = 9 entre os planos z = 0 e z = 2 .

Passo 1

E aí, galerinha! Tranquilo?

A questão pede a integral de superfície:

∫ ∫ S ( x 2 y + z 2 ) d S

S é a parte do cilindro

x 2 + y 2 = 9

entre os planos z = 0 e z = 2

Podemos usar a equação:

∬ S f ( x , y , z )   d S =   ∬ D f r t , z   | r → t × r → z | d A

Então, vamos precisar achar uma parametrização para o nosso cilindro para cada variável x , y e z . Depois, devemos aplicar essas equações parametrizadas na nossa função do integrando:

f x , y , z = x 2 y + z 2

Depois vamos derivar esses parâmetros para conseguirmos os vetores r → t e r → y e fazermos o produto vetorial entre eles. Calculamos pelas equações:

r → t = ∂ x ∂ t ,   ∂ y ∂ t ,   ∂ z ∂ t

E:

r → y = ∂ x ∂ y ,   ∂ y ∂ y ,   ∂ z ∂ y

Daí, é só substituirmos tudo isso na nossa equação, achar os limites de integração e resolver nossa integral!

Vamos lá!

Passo 2

O primeiro passo é parametrizar a superfície. Para parametrizarmos um cilindro nada melhor que usarmos coordenadas cilíndricas:

x = r cos ⁡ t

    y = r   s e n   t

z = z

Olhando nossa equação do cilindro:

x 2 + y 2 = 9 = 3 2

Vemos que ele tem raio 3, então nossas equações paramétricas serão:

x = 3 cos ⁡ t

    y = 3   s e n   t

z = z

t varia de 0 a 2 π . Já para z :

z = z ,             0 ≤ z ≤ 2

Essa variação o próprio enunciado nos deu dizendo que nosso cilindro está entre os planos z = 0 e z = 2 .

Nesse caso, nossa função:

f x , y , z = x 2 y + z 2

Substituindo pelas equações paramétricas, fica parametrizada assim:

x 2 y + z 2 = 27 cos 2 ⁡ t   s e n   t + z 2

Passo 3

Agora vamos achar nossos vetores. Os vetores r → t e r → z serão

  • r → t : Vamos substituir nossos parâmetros na equação:

    • r → t = ∂ x ∂ t ,   ∂ y ∂ t ,   ∂ z ∂ t = ∂ 3 cos ⁡ t ∂ t ,   ∂ 3   s e n   t ∂ t ,   ∂ z ∂ t

    Integrando cada uma dessas funções em relação a t , tratando z como constante:

    r → t = ∂ 3 cos ⁡ t ∂ t ,   ∂ 3   s e n   t ∂ t ,   ∂ z ∂ t = - 3   s e n   t ,   3 cos ⁡ t ,   0

  • r → z : Vamos substituir nossos parâmetros na equação:

r → z = ∂ x ∂ z ,   ∂ y ∂ z ,   ∂ z ∂ z = ∂ 3 cos ⁡ t ∂ z ,   ∂ 3   s e n   t ∂ z ,   ∂ z ∂ z

Integrando cada uma dessas funções em relação a z , tratando t como constante:

r → z = ∂ 3 cos ⁡ t ∂ z ,   ∂ 3   s e n   t ∂ z ,   ∂ z ∂ z = 0 ,   0 ,   1

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial:

r → t × r → z = i ^ j ^ k ^ - 3   s e n   t   3 cos ⁡ t 0 0 0 1

Para cada componente i , j e k , temos que multiplicar a matriz que achamos tirando a linha e a coluna da componente que estamos procurando. Depois, tiramos o determinante de cada matriz e ficamos com:

r → t × r → z = 3 cos ⁡ t ,   3   s e n   t ,   0

Agora, podemos tirar o módulo r → θ × r → ϕ desse nosso vetor:

r u × r v = x 2 + y 2 + z 2  

Substituindo:

r → t × r → z = 9 cos 2 ⁡ t + 9   s e n 2 t = 3

Logo,

d S = r → t × r → z   d A = 3   d A = 3   d t   d z

Passo 5

Desta forma, podemos escrever a integral como

I = ∫ ∫ S ( x 2 y + z 2 ) d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 3   27 cos 2 ⁡ t   s e n   t + z 2   d z   d t

Fazendo primeiro a integral em z , que é a integral de dentro, tratando t como constante:

I = �� 0 2 π 81 cos 2 ⁡ t   s e n   t   z + z 3 0 2   d t

Aplicando os limites de integração:

I = ∫ 0 2 π 8 + 162 cos 2 ⁡ t   s e n   t   d t

Integrando finalmente em t , separamos a soma em duas integrais:

I = ∫ 0 2 π 8   d t + ∫ 0 2 π 162 cos 2 ⁡ t   s e n   t   d t

Resolvendo a primeira integral:

I = 16 π + 162 ∫ 0 2 π cos 2 �� t   s e n   t   d t

Para calcular a segunda integral, fazemos

u = cos ⁡ t

de modo que a derivada é:

d u = - s e n   t   d t

Logo, substituindo:

∫ 0 2 π cos 2 ⁡ t   s e n   t   d t = - ∫ 0 0 u 2   d u = 0

Portanto,

I = 16 π + 162 ⋅ 0 = 16 π

Resposta

I = 16 π

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