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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 7.6 - Ex. 3

Seja S uma superfície fechada tal que S = S 1 ∪ S 2 , onde S 1 e S 2 são as superfícies de revolução obtidas pela rotação em torno do eixo z das curvas C 1 : z = 1 - x , 0 ≤ x ≤ 1   e C 2 : z = 0 , 0 ≤ x ≤ 1 , respectivamente. Se ρ x , y , z = x 2 + y 2 é a função que fornece a densidade (massa por unidade de área) em cada ponto x , y , z ϵ   S , calcule a massa de S .

Passo 1

Bom galera, nós temos que

C 1 : z = 1 - x ,   0 ≤ x ≤ 1

E

C 2 : z = 0 , 0 ≤ x ≤ 1

Nós temos a seguinte situação:

Passo 2

A sensidade é dada por:

ρ x , y , z = x 2 + y 2

S 1   c o n e : t , θ = ( t cos ⁡ θ , t   s e n   θ ,   1 - t )  

E o novo intervalo de integração é:

0 ≤ 1 - t ≤ 1

⇒ - 1 ≤ - t ≤ 0

Portanto 0 ≤ t ≤ 1 e 0 ≤ θ ≤ 2 π .

N t , θ = t ( cos ⁡ θ ,   s e n   θ ,   1 ) = ( t   c o s   θ ,   t   s e n   θ ,   t )

N ( t , θ ) = t 2 cos 2 ⁡ θ + t 2   s e n   θ + t 2 = 2 t 2 = t 2

Passo 3

Assim, já podemos montar nossa integral:

∬ S 1 x 2 + y 2   d S 1 = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 t 2 cos 2 ⁡ θ + t 2   s e n 2 θ ⋅ t 2   d t   d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 t 2   2   d t   d θ = 2   ∫ 0 2 π t 3 3 0 1 d θ = 2 ⋅ 1 3 ⋅ 2 π = 2 2 π 3

Passo 4

S 1   c i r c u n f e r ê n c i a - d i s c o : r , θ = ( r cos ⁡ θ ,   r   s e n   θ ,   0 )

com o intervalo de integração de 0 ≤ θ ≤ 2 π e ≤ r ≤ 1 .

N r , θ = r 0,0 , - 1 = ( 0,0 , - r )

N ( r , θ ) = 0 + 0 + r 2 = r

Agora podemos montar nossa integral:

∬ S 2 x 2 + y 2 d S 2 = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 s e n 2   θ r d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 d r d θ = ∫ 0 2 π r 3 3 0 1 d θ = 1 3 ⋅ 2 π = 2 π 3

Passo 5

E então, para calcularmos a massa de S :

M = ∬ S 1 x 2 + y 2 d S 1 + ∬ S 1 x 2 + y 2 d S 2 = 2 2 π 3 + 2 π 3

M = 2 π 3 2 + 1

Resposta

M = 2 π 3 2 + 1

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