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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 7.6 - Ex. 4a

Sabendo-se que o centro de massa ( x c , u c , z c ) de uma superfície S é definido por

x c = ∬ S x f x , y , x d s M , y c = ∬ S y f x , y , x d s M e z c = ∬ S z f x , y , x d s M ,

onde M é a massa total de S e f ( x , y , z ) é a densidade em cada ponto x , y , z ϵ S , calcule o centro de massa das seguintes superfícies com densidade constante.

  1. S tem uma representação paramétrica φ u , v = ( u , v , u 2 + v 2 ) , u 2 + v 2 ≤ 1 .

Passo 1

Nós temos que o centro de massa x c , u c , z c de uma superfície pe definido por

x c = ∬ S x f x , y , x d s M , y c = ∬ S y f x , y , x d s M e z c = ∬ S z f x , y , x d s M

Bom, M = ∬ S f x , y , z d s , e f x , y , z = d e n s i d a d e   e m   c a d a   p o n t o = c o n t a n t e = k

Passo 2

f u , v = u , v , u 2 + v 2 com u 2 + v 2 ≤ 1

Encontraremos agora N :

N = ∂ f ∂ x 2 + ∂ f ∂ y 2 + 1 = 4 u 2 + 4 v 2 + 1   = 1 + 4 u 2 + v 2

Passo 3

Logo,

x c = ∬ D u   1 + 4 ( u 2 + v 2 ) ⋅ k   d u d v ∬ D 1 + 4 u 2 + v 2 ⋅ k   d u d v

D : x , y u 2 + v 2 ≤ 1

Precisamos passar para coordenadas polares: x = r cos ⁡ θ y = r   s e n   θ , com o novo intervalo de integração de 0 ≤ θ ≤ 2 π 0 ≤ r ≤ 1   .

Assim:

x c = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2 cos ⁡ θ   4 r 2 + 1 d r   d θ   ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r   4 r 2 + 1   d r   d θ = 0

Pois ∫ 0 2 π cos ⁡ θ   d θ = s e n   θ 0 2 π = 0

y c = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 2   s e n   θ 4 r 2 + 1 d r d θ ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r 4 r 2 + 1 d r d θ = 0

Pois ∫ 0 2 π sen ⁡ θ   d θ = - c o s   θ 0 2 π = 0

z c = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r ⋅ r 2   4 r 2 + 1   d r d θ ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r   4 r 2 + 1 d r d θ = 2 π   ∫ 0 1 r 2 1 + 4 r 2 r d r d θ 2 π ∫ 0 1 1 + 4 r 2 r d r d θ

Para o termo de cima da fração, temos que:

t 2 = 1 + 4 r 2 , assim 2 t d t = 8 r d r , isso implica que t d t = 4 r d r

Para o termo de baixo da fração, temos que:

a = 4 r 2 + 1 , assim, d a = 8 r d r

Isso implica que:

= 1 4 ∫ 1 5 t 2 - 1 4 ⋅ t 2 t d t 1 8 ⋅ 2 3 4 r 2 + 1 3 2 0 1 = 1 16 ∫ 1 5 ( t 4 - t 2 )   d t 1 12 ( 5 5 - 1 ) = 1 16 t 5 5 - t 3 3 1 5 1 12 ( 5 5 - 1 ) = 1 16 ⋅ 12 1 ⋅ 25 5 5 - 5 5 3 - 1 5 + 1 3 5 5 - 1 = 3 4   50 5 + 2 15 ⋅ 1 5 5 - 1 = 25 5 + 1 10 ( 5 5 - 1 )

Passo 4

Logo, nosso centro de massa é:

C . M = 0,0 , 25 5 + 1 10 5 5 - 1

Resposta

C . M = 0,0 , 25 5 + 1 10 5 5 - 1

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Calcule ∬ K f x , y , z d S sendo: f )f x , y , z = x y ;σ é a interseção do paraboloide z = x 2 + y 2 com o conjunto x 2 + y 2 ≤ 2 x ,y ≥ 0 .
Calcule a massa da superfície σ dada, com função densidade superficial de massa f ( x , y , z ) dada: f x , y , z = z e σ é a superfície x 2 + y 2 + z 2 = 1 ,z ≥ 0 .
Calcule a massa da superfície σ dada, com função densidade superficial de massa f ( x , y , z ) dada: b )f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 e σ é a superfície z 2 = x 2 + y 2 ,1 ≤ z ≤ 2 .
Seja f : a , b → R uma função de classe C 1 , com f u ≥ 0 em a , b . Considere a superfície de revolução σ u , v = f u cos ⁡ v , f u s e nv ,u , com a ≤ u ≤ b ,0 ≤ v ≤ 2 π . Estabeleça uma fórmula par
Seja σ u , v = x u , v , y u , v , z u , v , u , v ∈ K . Mostre que a área de σ pode ser expressa na forma á r e ad eσ = ∬ K ∂ y , z ∂ u , v 2 + ∂ z , x ∂ u , v 2 + ∂ x , y ∂ u , v 2 d u d vá Sugestão