Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.6 - Ex. 22

Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.

O sólido limitado pelo cilindro x 2 + z 2 = 4 e pelos planos y = - 1 e y + z = 4

Passo 1

Precisamos entender primeiramente qual o domínio que estamos trabalhando. Analisando em relação ao eixo y , tomando-o como para cima sua direção positiva, então, o nosso sólido é limitado acima pelo plano y + z = 4 e abaixo pelo plano y = - 1 . Além disto, ele é limitado lateralmente pelo plano x 2 + z 2 = 4

Isto implica no fato que temos uma região do tipo III. Portanto, temos:

- 1 ≤ y ≤ 4 - z

Como a projeção no plano x z será a circunferência que limita lateralmente nosso sólido, teremos de resolver a seguinte integral:

V o l u m e = ∭ E d V = ∫ - 2 2 ∫ - 4 - x 2 4 - x 2 ∫ - 1 4 - z 1   d y d z d x

Observem que, no plano x z temos uma circunferência. Vamos escrever então, ao invés de coordenadas x e z , no sistema de coordenadas polares. Portanto,

x = 2 cos ⁡ θ

z = 2 sen ⁡ θ

Fazendo esta mudança, temos a seguinte integral:

V o l u m e = ∭ E d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ - 1 4 - 2 sen ⁡ θ r   d y d r d θ

Passo 2

Precisamos começar integrando a variável y Portanto,

∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ - 1 4 - 2 sen ⁡ θ r   d y d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r   y - 1 4 - 2 sen ⁡ θ d r d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 2 r   5 - 2 sen ⁡ θ d r d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 2 5 r - 2 r sin ⁡ θ d r d θ

Passo 3

Agora, precisamos integrar em relação a r . Logo,

∫ 0 2 π ∫ 0 2 5 r - 2 r sin ⁡ θ d r d θ = ∫ 0 2 π 5 r 2 2 - r 2 sen ⁡ θ 0 2 d θ

∫ 0 2 π ( 10 - 4 sen ⁡ θ ) d θ

Passo 4

Por fim, basta integrarmos em relação a θ .

∫ 0 2 π ( 10 - 4 sen ⁡ θ ) d θ = 10 θ + 4 cos ⁡ θ 0 2 π

20 π + 4 - 0 + 4 = 20 π

Resposta

V o l u m e = 20 π

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre os volumes das regiões nos Exercícios 23-36.O tetraedro no primeiro octante delimitado pelos planos coordenados e o plano passando por (1, 0, 0), (0, 2, 0) e (0, 0, 3)
Encontre os volumes das regiões nos Exercícios 23-36.A região finita delimitada pelos planos z = x, x + z = 8, z = y,y = 8 e z = 0
Encontre os volumes das regiões nos Exercícios 23-36.A região no primeiro octante delimitada pelos planos coordenados, o plano y = 1 – x e a superfície z = cos (px/2), 0 ≤ x ≤ 1
Encontre os volumes das regiões nos Exercícios 23-36.A cunha cortada do cilindro x2 + y2 = 1 pelos planos z = –ye z = 0
Calcule as integrais nos Exercícios 41-44 alterando a ordem de integração de maneira apropriada. ∫ 0 4   ∫ 0 1   ∫ 2 y 2   4 c o s ⁡ x 2 2 z d x d y d z