Calcule a área das seguintes superfícies
f) Superfície do paraboloide que se encontra no interior do cilindro .
Passo 1
Uma parametrização simples para o paraboloide é tomarmos:
Sendo assim, temos que
Logo:
Passo 2
Sendo assim, a área será dada por:
onde é o interior da elipse . Uma boa maneira para calculamos essa integral é passarmos para coordenadas polares:
Veja:
Lembre-se que para fazer a mudança de variáveis, precisamos fazer:
Passo 3
Logo,
Para calcular a última integral, basta fazer :
Finalmente, temos
Resposta
A área vale .