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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 7.4 - Ex. 4f

Calcule a área das seguintes superfícies

f) Superfície do paraboloide z = 5 - x 2 2 - y 2 que se encontra no interior do cilindro x 2 + 4 y 2 = 4 .

Passo 1

Uma parametrização simples para o paraboloide é tomarmos:

φ x , y = x ,   y ,   5 - x 2 2 - y 2

Sendo assim, temos que

∂ φ ∂ x = 1 ,   0 ,   - x ∂ φ ∂ y = 0 ,   1 ,   - 2 y  

Logo:

∂ φ ∂ x × ∂ φ ∂ y = i j k 1 0 - x 0 1 - 2 y ∂ φ ∂ x × ∂ φ ∂ y = x ,   2 y , 1 ⟹ ∂ φ ∂ x × ∂ φ ∂ y = x 2 + 4 y 2 + 1

Passo 2

Sendo assim, a área será dada por:

A = ∬ D ∂ φ ∂ x × ∂ φ ∂ y   d x   d y A = ∬ D x 2 + 4 y 2 + 1   d x   d y

onde D é o interior da elipse x 2 + 4 y 2 ≤ 4 . Uma boa maneira para calculamos essa integral é passarmos para coordenadas polares:

x = 2 ρ cos ⁡ θ y = ρ cos ⁡ θ

Veja:

x 2 + 4 y 2 ≤ 4 4 ρ 2 cos 2 ⁡ θ + 4 ρ 2 sin 2 ⁡ θ ≤ 4 4 ρ 2 cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ ≤ 4 ρ 2 ≤ 1 0 ≤ ρ ≤ 1

Lembre-se que para fazer a mudança de variáveis, precisamos fazer:

d ρ   d θ = ∂ x ∂ ρ ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ ρ ∂ y ∂ θ   d x   d y d ρ   d θ = 2 cos ⁡ θ - 2 ρ sin ⁡ θ sin ⁡ θ ρ cos ⁡ θ   d x   d y d ρ   d θ = 2 ρ cos 2 ⁡ θ + 2 ρ sin 2 ⁡ θ   d x   d y d ρ   d θ = 2   ρ   d x   d y

Passo 3

Logo,

A = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 ρ cos ⁡ θ 2 + ρ sin ⁡ θ 2 + 1   2 ρ   d ρ   d θ A = 4 π ∫ 0 1 ρ 4 ρ 2 + 1   d ρ

Para calcular a última integral, basta fazer u = 4 ρ 2 + 1 :

d u = 8 ρ   d ρ ∴ ρ   d ρ = d u 8 ρ = 0 ⟹ u = 1 ρ = 1 ⟹ u = 5

Finalmente, temos

A = 4 π ∫ 1 5 u 1 / 2 d u 8 A = π 2 u 3 / 2 3 / 2 1 5 A = π 3 5 5 - 1

Resposta

A área vale π 3 5 5 - 1 .

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