Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.3 - Ex. 19
Determine o volume do sólido dado.
Abaixo do plano e acima da região limitada por e .
Passo 1
E aí futuro cientista, preparado para usar todo seu talento em cálculo nessa questão de matemática? Vamos arrebentar!
Para resolver essa questão, precisamos identificar e desenhar a região no plano limitada pelas curvas e . Depois vamos montar a integral dupla para calcular o volume do sólido abaixo do plano e acima da região identificada e assim resolver a integral dupla.
Primeiro, precisamos identificar a região no plano limitada pelas curvas e .Para isso, desenhamos as curvas:
As interseções ocorrem nos pontos onde é igual a . Solucionando :
Os pontos de interseção são e .
Passo 2
Para montar a integral de volume, utilizamos os limites de integração da região identificada. A região no plano está limitada por e . A equação do plano é .
A integral de volume é dada por:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral dupla resolvendo de dentro para fora:
Primeiro, integramos em relação a :
Substituímos os limites de integração em :
Agora, integramos essa expressão em relação a :
Calculamos a integral:
Substituindo os limites de integração em :