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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.6 - Ex. 35

Determine a área de superfície.

A parte do plano x + 2 y + z = 4 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 4 .

Passo 1

Olá, tudo bem? Vamos ver o que a questão quer!

Ela diz para encontrar a área da superfície do plano

x + 2 y + z = 4

Que está dentro do cilindro

x 2 + y 2 = 4

Basicamente teremos um plano cortando um cilindro, e queremos achar a área desse plano que está dentro do cilindro.

Lembrando que para calcular a área de superfície, temos a seguinte fórmula:

A S = ∬ D 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

Sendo z uma função f x , y .

O caminho que vamos seguir é:

Calcularemos as derivadas parciais, acharemos os limites de integração e depois resolveremos a integral. Não precisaremos trocar as coordenadas, vou mostrar um jeito mais fácil, ok?

Bora lá?

Passo 2

Vamos encontrar as derivadas parciais. Temos a superfície

x + 2 y + z = 4

Então,

z = 4 - x - 2 y

z = f x , y

Calculando as derivas parciais:

∂ z ∂ x = - 1

∂ z ∂ y = - 2

Show?

Passo 3

Agora os limites de integração!

Essa parte aqui, na verdade, só queremos o raio 😁 Tudo vai fazer sentido!

Como temos um cilindro, quando o plano cortar ele, teremos uma circunferência ao redor. Logo, D é um círculo que está dentro do cilindro.

x 2 + y 2 ≤ 4

Então temos que o raio dele é

r = 2

Passo 4

Vamos montar a integral!

A S = ∬ D 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2 d A

Substituindo o que encontramos

A S = ∬ D 1 + - 1 2 + - 2 2 d A

A S = ∬ D 6 d A

Veja bem, temos um integral de d A que é a área de D .

E qual a área de D ?

Isso mesmo, um círculo. E ele é calculado assim:

A = π r 2

Entãoooo

∬ D 6 d A = 6   .   A

6   .   A = 6   .   π r 2

Portanto,

A S = 4 6 π

Tranquilo?

Resposta

4 6 π

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1 ) Calcule a área. (Sugerimos ao leitor desenhar a imagem da superfíciedada.) σ( u ,v )=( u ,v ,1-u-v ) ,u≥0 ,v≥0eu+v≤1 . σ( u ,v )=( u ,v ,2-u-v ) ,u 2+v 2 ≤1 . σ( u ,v )=( u ,v ,u 2+v 2 ) ,u 2+v 2≤
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9 . Calcule a área da parte da superfície z = x^(3 // 2) + y^(3 // 2) , 0 = x = (8)/(9) e 0 = y = (9)/(16) x^2
11 . Calcule a área da superfície z = x 2 + y 2 compreendida entre os planos x + y = 1,x + y = 2,x = 0ey = 0