Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 16.6 - Ex. 36
Determine a área da superfície.
A parte do plano com equação vetorial que é dada por
Passo 1
Olá tudo bem? Vamos ver o que a questão quer!
Ela diz para a gente determinar a área da superfície que é a parte do plano com equação vetorial
Sendo que e variam assim:
Como temos uma equação vetorial, podemos transformar ela nisso:
Ok?
E podemos achar a área de superfície assim:
Muito bem! Vamos começar achando qual superfície essa parametrização representa, depois acharemos as derivas parciais, depois acharemos os limites de integração e finalmente montaremos a integral e resolveremos.
Bora lá:
Passo 2
Para identificar qual superfície essa equação paramétrica representa, vamos determinar suas coordenadas cartesianas.
Temos que
Como
Temos
Da primeira equação temos que:
E substituindo na segunda temos:
E podemos isolar :
Agora substituindo em (terceira equação) temos:
Substituindo
Simplificando:
Ou seja, temos um plano!
Passo 3
Lembra que para determinar a área de uma superfície devemos fazer:
Onde a função é uma função das variáveis e , dentro da região no plano . Aqui a função é:
Agora temos que calcular as derivadas parciais:
Para , derivaremos a função em relação a e manteremos o como constante. Assim:
Para , derivaremos a função em relação a e manteremos o como constante:
Assim temos:
Passo 4
E os limites? A questão diz que o intervalo da superfície parametrizada é
Trazendo de volta as equações que achamos
Ou seja, quando :
Reorganizando:
Esses são os limites inferiores.
Agora os limites superiores. Quando temos:
Reorganizando:
Então os limites são:
Então o diferencial de área vai ser e o intervalo:
Passo 5
Agora vamos montar a integral:
Substituindo o que encontramos:
Como os limites de integração são constantes, tanto faz a ordem de integração.
Resolvendo para
Multiplicando os sinais:
Resolvendo para :
Portanto,
Então a nossa área é:
Beleza?
Vamos pra próxima?