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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.5 - Ex. 45

No Exercício ∫ 4 . t g 3 2 x   d x , use fórmulas de redução para calcular as integrais.

Passo 1

O enuciado nos da uma integral de uma função trigonométrica, e para para poder reduzir precisamos usar algumas fórmulas da tabela das integrais.

Passo 2

Primeiro vamos reorganizar:

∫ 4 . t g 3 2 x   d x = 4 ∫ t g 3 2 x   d x

Para resolver essa integral usaremos a fórmula:

∫ t g n a x   d x = t g n - 1   a x a ( n - 1 )   - ∫ t g n - 2   a x   d x

Substituindo:

= 4 t g 3 - 1   2 x 2 ( 3 - 1 )   - ∫ t g 3 - 2 2 x   d x

= 4 t g 2   2 x 4   - ∫ t g   2 x   d x

= 4 t g 2   2 x 4   - 4 ∫ t g   2 x   d x

= t g 2   2 x   - 4 ∫ t g   2 x   d x

Passo 3

Para resolver ∫ t g   2 x   d x     usamos a fórmula:

∫ t g   a x   d x     = 1 a . l n   s e c   a x

Substituindo:

= t g 2   2 x   - 4 1 2 . l n   s e c   2 x

= t g 2   2 x   - 2 . l n   s e c   2 x + c

Obs: adicionamos “c” que é a constante de integração

Resposta

∫ 4 . t g 3 2 x   d x = t g 2   2 x   - 2 . l n   s e c   2 x + c

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