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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.4 - Ex. 37

No Exercício ∫ 2 5 x 1 + x 2 d x   , deduza uma primitiva do integrando. Verifique sua hipótese com derivação e, depois, calcule a integral definida dada. (Dica: tenha em mente a regra da cadeia ao deduzir uma primitiva. Você aprenderá como determinar primitivas desse tipo na próxima seção.)

Passo 1

O enuciado pede que a gente encontre a primitiva do integrando (que é o mesmo que o resultado da integral) por meio da dedução. Desse modo, precisamos pensar em uma espressão que derivada vai dar o valor do integrando. Após isso nós vamos derivar para poder confirmar se nossa dedução é real. Por último calculamos a integral definida.

Passo 2

Primeiro para facilitar vamos reorganizar

∫ 2 5 x 1 + x 2 d x   = ∫ 2 5 x . 1 1 + x 2 d x  

Deduzimos uma possível primitiva:

∫ 2 5 x . 1 1 + x 2 d x   → 1 + x 2

Depois para confirmar derivamos a expressão encontrada, nesse caso usaremos a regra da cadeia:

d d x 1 + x 2 = d d x 1 + x 2   .     d d x ( 1 + x 2 )    

=   1 2   1 1 + x 2 .   2 x

=   x 1 + x 2

Passo 3

O resultado acima confirma que nossa dedução esta correta . Então agora basta resolver a integral definida.

∫ 2 5 x 1 + x 2 d x   = 1 + x 2 2 5

= 1 + 5 2 - 1 + 2 2

= 1 + 5 2 - 1 + 2 2

= 26 - 5

Resposta

∫ 2 5 x 1 + x 2 d x     = 26 - 5

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