Calcule a integral, transformando para coordenadas cilíndricas. ∫ - 3 3 ∫ 0 9 - x 2 ∫ 0 9 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 d z d y d x

Enunciado

Vamos lá galerinha, tudo certo? Temos a seguinte integral:

E precisamos converte ela para coordenadas cilíndricas. Para isso, precisamos recordar quais as relações das coordenadas cilíndricas, veja:

Além disso,

Agora basta substituirmos as variáveis. Vamos lá?

Vamos primeiro converter para os limites em z:

Lembrando que:

Temos:

Pelos limites de integração em sabemos que:

E pelos limites em :

Com , relembrando

Novamente então concluímos que .

Como é positivo, só temos metade do círculo, então

Vamos simplificar:

Com isso, podemos definir a integral cilíndrica tripla como

Integrando temos:

Aplicando os limites de integração:

Integrando:

Aplicando os limites de integração:

Assim temos:

Daí, resolvendo, chegamos em