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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.8 - Ex. 30

Calcule a integral, transformando para coordenadas cilíndricas.

∫ - 3 3 ∫ 0 9 - x 2 ∫ 0 9 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 d z d y d x

Passo 1

Vamos lá galerinha, tudo certo? Temos a seguinte integral:

∫ - 3 3 ∫ 0 9 - x 2 ∫ 0 9 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 d z d y d x

E precisamos converte ela para coordenadas cilíndricas. Para isso, precisamos recordar quais as relações das coordenadas cilíndricas, veja:

y = rsen ⁡ θ

x = rcos ⁡ θ

z = z

Além disso,

r 2 = x 2 + y 2

Agora basta substituirmos as variáveis. Vamos lá?

Passo 2

Vamos primeiro converter para os limites em z:

0 ≤   z ≤ 9 - x 2 - y 2

Lembrando que:

r 2 = x 2 + y 2

Temos:

0 ≤   z ≤   9 - r 2

Pelos limites de integração em d x sabemos que:

- 3 ≤ x ≤ 3

E pelos limites em d y :

0 ≤   y 2 = 9 - x 2

0 ≤   y 2 + x 2 = 9

Com y ≥ 0 , relembrando

r 2 = x 2 + y 2

Novamente então concluímos que 0 ≤ r ≤ 3 .

Passo 3

Como y é positivo, só temos metade do círculo, então 0 ≤ θ ≤ π

Vamos simplificar:

x 2 + y 2 = r

Com isso, podemos definir a integral cilíndrica tripla como

∫ 0 π ∫ 0 3 ∫ 0 9 - r 2 ( r × r ) d z d r d θ

∫ 0 π ∫ 0 3 ∫ 0 9 - r 2 r 2 d z d r d θ

Integrando temos:

∫ 0 π ∫ 0 3 r 2 z 0 9 - r 2 d r d θ

Aplicando os limites de integração:

∫ 0 π ∫ 0 3 r 2 9 - r 2 d r d θ

Integrando:

∫ 0 π 3 r 3 - r 5 5 0 3

Aplicando os limites de integração:

∫ 0 π 81 - 243 5 d θ

Assim temos:

∫ 0 π 162 5 d θ = 162 5 π

Daí, resolvendo, chegamos em 162 π 5

Resposta

162 π 5

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Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas ∫ 0 3 ∫ 0 9 - y 2 ∫ x 2 + y 2 18 - x 2 - y 2 x 2 + y 2 + z 2 d z d x d y
Determine o volume contido pelo toro ρ = sen ⁡ ϕ .Utilize um computador para desenhar o toro.
Utilize as coordenadas esféricas.Calcule ∭ H x 2 + y 2 d V , onde H é a região hemisférica que está acima do plano x y e abaixo da esfera x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 .
Utilize as coordenadas esféricas.Calcule ∭ B x 2 + y 2 + z 2 d V , onde B é a bola unitária x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 .
Determine o volume do sólido que está acima do cone ϕ = π / 3 e abaixo da esfera ρ = 4 cos ⁡ ϕ .