Determine o volume do sólido que está acima do cone ϕ = π / 3 e abaixo da esfera ρ = 4 cos ⁡ ϕ .

Passo 1

Olá, queridos! Tudo bem?

A questão quer que a gente determine o volume do sólido acima do cone:

ϕ = π / 3

E abaixo da esfera:

ρ = 4 cos ⁡ ϕ

Quando queremos determinar o volume de um sólido utilizando o sistema de coordenadas esféricas, temos de resolver a seguinte integral:

∭ V d V = ∭ V ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

Mas podemos ver que falta nossos limites de integração. Então nosso procedimento aqui tem que ser o de encontrar esses limites de integração em coordenadas esféricas e calcular a integral tripla “de dentro pra fora”.

Vamos?

Passo 2

Nosso trabalho é descrever os limites de integração. Respeitando a relação de estar acima de um cone a abaixo de uma esfera, temos:

  • ρ : Como o sólido está abaixo da esfera
  • ρ = 4 cos ⁡ ϕ

    Então, como temos uma esfera centrada na origem, a variação de ρ é:

    0 ≤ ρ ≤ 4 cos ⁡ ϕ

  • ϕ : Como o próprio enunciado diz, o cone é definido por:
  • ϕ = π / 3

    Como ele tem centro na origem, temos que:

    0 ≤ ϕ ≤ π / 3

  • θ : Como temos a projeção da esfera como um círculo da no plano x y , temos toda os valores possíveis para o ângulo:

0 ≤ θ ≤ 2 π

Portanto, nossa integral é:

∫ 0 2 π ∫ 0 π / 3 ∫ 0 4 cos ⁡ ϕ ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

Passo 3

Agora, nosso trabalho é calcular a integral definida. Sendo assim, temos:

∫ 0 2 π ∫ 0 π / 3 ∫ 0 4 cos ⁡ ϕ ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

Integrando primeiro em ρ , que é a variável de dentro, tratando ϕ como constante:

= ∫ 0 2 π ∫ 0 π 3 ρ 3 3 0 4 cos ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ d ϕ d θ

Aplicando os limites de integração:

= ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 3 64 cos 3 ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ 3 d ϕ d θ

Tirando as constantes para fora da integral e integrando em ϕ :

= 64 3 ⋅ ∫ 0 2 π ∫ 0 π 3 cos 3 ⁡ ϕ sen ⁡ ϕ d ϕ d θ

Aplicando os limites de integração:

= 64 3 ⋅ ∫ 0 2 π - cos 4 ⁡ ϕ 4 0 π / 3 d θ

Temos:

= 64 3 ⋅ ∫ 0 2 π - 1 64 + 1 4 d θ

Agora é só integrar em θ para finalizar:

64 3 ⋅ ∫ 0 2 π 15 64 d θ = 64 3 ⋅ 15 64 ⋅ 2 π = 10 π

Portanto,

V o l u m e = 10 π

Resposta

V o l u m e = 10 π

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