Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.8 - Ex. 23

Determine o volume do sólido que está acima do cone e abaixo da esfera .

Passo 1

Olá, queridos! Tudo bem?

A questão quer que a gente determine o volume do sólido acima do cone:

E abaixo da esfera:

Quando queremos determinar o volume de um sólido utilizando o sistema de coordenadas esféricas, temos de resolver a seguinte integral:

Mas podemos ver que falta nossos limites de integração. Então nosso procedimento aqui tem que ser o de encontrar esses limites de integração em coordenadas esféricas e calcular a integral tripla “de dentro pra fora”.

Vamos?

Passo 2

Nosso trabalho é descrever os limites de integração. Respeitando a relação de estar acima de um cone a abaixo de uma esfera, temos:

: Como o sólido está abaixo da esfera

Então, como temos uma esfera centrada na origem, a variação de é:

: Como o próprio enunciado diz, o cone é definido por:

Como ele tem centro na origem, temos que:

: Como temos a projeção da esfera como um círculo da no plano , temos toda os valores possíveis para o ângulo:

Portanto, nossa integral é:

Passo 3

Agora, nosso trabalho é calcular a integral definida. Sendo assim, temos:

Integrando primeiro em , que é a variável de dentro, tratando como constante:

Aplicando os limites de integração:

Tirando as constantes para fora da integral e integrando em :

Aplicando os limites de integração:

Temos:

Agora é só integrar em para finalizar:

Portanto,

Resposta

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