Utilize as coordenadas esféricas.

Calcule ∭ B x 2 + y 2 + z 2 d V , onde B é a bola unitária x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 .

Passo 1

Como a nossa região de integração é uma esfera de raio 1 e centrada na origem, os limites de integração já são muito bem definidos. Em coordenadas esféricas eles são:

0 ≤ ρ ≤ 1

0 ≤ ϕ ≤ π

0 ≤ θ ≤ 2 π

Com isto, nossa integral se transformará em:

∭ B x 2 + y 2 + z 2 d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 1 ρ 2 ⋅ ρ 2 sen ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 1 ρ 4 sen ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

Pronto, esta é a nossa integral descrita em coordenadas esféricas.

Passo 2

Nosso passo agora é apenas resolver a integral descrita no final do Passo 1. Com isto, temos:

∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 1 ρ 4 sen ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 π ρ 5 5 0 1 sen ⁡ ϕ d ϕ d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 1 5 sen ⁡ ϕ d ϕ d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 π sen ⁡ ϕ 5 d ϕ d θ = ∫ 0 2 π - cos ⁡ ϕ 5 0 π d θ

∫ 0 2 π 2 5 d θ = 4 π 5

E esta é a nossa resposta!

Resposta

4 π 5

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