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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.7 - Ex. 30

Calcule a integral, transformando para coordenadas cilíndricas.

∫ - 3 3 ∫ 0 9 - x 2 ∫ 0 9 - x 2 - y 2 x 2 + y 2   d z d y d x

Passo 1

Fala aí, gente!

A questão quer que a gente transforme essa integral abaixo para coordenadas cilíndricas e depois calcule:

∫ - 3 3 ∫ 0 9 - x 2 ∫ 0 9 - x 2 - y 2 x 2 + y 2   d z d y d x

Quando trocamos para cilíndricas, lembra que os limites de integração também mudarão!

Primeiro, vamos nos lembrar do conceito de coordenadas cilíndricas... As relações entre coordenadas cilíndricas r , θ , z e coordenadas retangulares x , y , z são dadas da seguinte forma:

x = r cos ⁡ θ y = r sen ⁡ θ z = z x 2 + y 2 = r 2 d x d y d z = r d z d r d θ

Show? 😉

Passo 2

Em nosso exemplo, temos que a região de integração é acima de z = 0 e abaixo de z = 9 - x 2 - y 2 , o que nos dá:

z = 9 - x 2 - y 2

z = 9 - r 2

Ou seja,

0 ≤ z ≤ 9 - r 2

Temos que

0 ≤ y ≤ 9 - x 2

E que

- 3 ≤ x ≤ 3

descrevem uma circunferência de raio 3 no plano x y , assim

0 ≤ r ≤ 3

e

0 ≤ θ ≤ π

Logo, vamos fazer a transformação:

E = r , θ , z |   0 ≤ r ≤ 3 ,   0 ≤ θ ≤ π ,   0 ≤ z ≤ 9 - r 2

Passo 3

Montando nossa integral, vamos ter:

∫ - 3 3 ∫ 0 9 - x 2 ∫ 0 9 - x 2 - y 2 x 2 + y 2   d z d y d x

∫ 0 π ∫ 0 3 ∫ 0 9 - r 2 r   r d z d r d θ

Ou melhor

∫ 0 π ∫ 0 3 ∫ 0 9 - r 2 r 2   d z d r d θ

Integrando de dentro para fora, ou seja, primeiro em relação a z :

∫ 0 9 - r 2 r 2   d z

r 2 z 0 9 - r 2

Substituindo pelos limites de integração, teremos:

9 r 2 - r 4

Agora em relação a r :

∫ 0 3 9 r 2 - r 4 d r

9 r 3 3 - r 5 5 0 3

Colocando os limites de integração:

3 3 - 3 5 5 = 162 5

Agora em relação a θ ...

∫ 0 π 162 5 d θ

A fração jogamos para fora da integral como se fosse uma constante...

162 5 ∫ 0 π d θ

Resolvendo, por fim...

162 5 θ 0 π = 162 π 5

Show de bola! 😉

Resposta

∫ - 3 3 ∫ 0 9 - x 2 ∫ 0 9 - x 2 - y 2 x 2 + y 2   d z d y d x = ∫ 0 π ∫ 0 3 ∫ 0 9 - r 2 r 2   d z d r d θ = 162 π 5

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Escreva as equações em coordenadas cilíndricas.x^2 - x + y^2 + z^2 = 1 z = x^2 - y^2
Escreva as equações em coordenadas cilíndricas.(b) z = x 2 - y 2
Marque o ponto cujas coordenadas cilíndricas são dadas. A seguir, encontre as coordenadas retangulares do ponto. ( 2 , 3 π / 4,2 ) ( 1,1 , 1 )
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a. ∫ - π 2 π 2 ∫ 0 2 ∫ 0 r 2 r d z d r d θ
Use coordenadas cilíndricas.Determine o volume do sólido que está entre o paraboloide z = x 2 + y 2 e a esfera x 2 + y 2 + z 2 = 2 .