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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.8 - Ex. 27

A produção total P de certo produto depende da quantidade L de trabalho empregado e da quantidade K de capital investido. Nas Seções 14.1 e 14.3 discutimos como o modelo Cobb-Douglas

P = b L α K 1 - α

segue a partir de determinadas suposições econômicas, onde b e α são constantes positivas e α < 1 . Se o custo por unidade de trabalho for m e o custo por unidade de capital for n , e uma companhia puder gastar somente uma quantidade p de dinheiro como despesa total, então a maximização da produção P estará sujeita à restrição

m L + n K = p

Mostre que a produção máxima ocorre quando

L = α p m

E

K = 1 - α p n

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Eita que enunciado grande né???

Mas calma!! Basicamente o enunciado nos deu essa função:

P L , K = b L α K 1 - α

Atenção: Observe que α e b são constantes!!!

Queremos provar que essa função tem os seguintes valores de máximo quando:

L = α p m

E

K = 1 - α p n

Para isso, temos a nossa restrição:

g L , K = m L + n K - p

Atenção: Observe que m , n e p são constantes!!!

Enfim... para podermos provar esses valores, teremos que utilizar o Método dos Multiplicadores de Lagrange!!

Mas que método é esse???

Então... para determinar os valores máximo e mínimo de f x , y sujeitos à restrição g x , y = k (supondo que esses valores extremos existam e que ∇ g ≠ 0 sobre a superfície g x , y = k ), então:

∇ f x , y = λ ⋅ ∇ g x , y

Esse λ é o nosso multiplicador de Lagrange!!!

Se ainda ficou confuso, é o seguinte: Primeiro vamos calcular os gradientes de f (ou seja, ∇ f ) e depois os de g (ou seja, ∇ g ).

Em seguida, iremos calcular o valor de λ utilizando a equação que você acabou de ver. Com isso, aplicando na nossa restrição g encontraremos os valores que desejamos!!

Ah... só para não se confundir, estamos adotando:

f x , y = P L , K

E

g x , y = g L , K

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Vamos então tirar os gradientes das nossas funções!

Primeiro vamos para a função P :

P L , K = b L α K 1 - α

Para calcular o gradiente ∇ P , basta aplicarmos as derivadas parciais!!

Derivando em relação a L , colocando as constantes para fora e aplicando a Regra da Potência, temos:

P L = ∂ ∂ L   b L α K 1 - α ∴

P L = b K 1 - α ∂ ∂ L   L α ∴

P L = α b L α - 1 K 1 - α  

De forma análoga, derivando em relação a K :

P K = ∂ ∂ K   b L α K 1 - α ∴

P K = b L α ∂ ∂ K   K 1 - α ∴

P K = 1 - α b L α K - α  

Assim, nosso gradiente é:

∇ P = α b L α - 1 K 1 - α , 1 - α b L α K - α

Passo 3

Agora vamos para a função g :

g L , K = m L + n K - p

Derivando com relação a L , aplicando a regra da potência, obtemos:

g L = ∂ ∂ L   m L + n K - p ∴

g x = m

Derivando em relação a K de forma análoga:

g K = ∂ ∂ K   m L + n K - p ∴

g y = n

Assim, nosso gradiente é:

∇ g = m , n

Passo 4

Beleza, temos nossos gradientes, agora vamos encontrar um λ que satisfaça a equação.

Para isso, basta aplicarmos os gradientes que encontramos no passo anterior na equação que apresentamos no Passo 1:

∇ P L , K = λ ⋅ ∇ g L , K ∴

α b L α - 1 K 1 - α , 1 - α b L α K - α = λ ⋅ m , n

Daí, vamos tirar que:

α b L α - 1 K 1 - α = λ ⋅ m 1 - α b L α K - α = λ ⋅ n

Reorganizando as expressões, obtemos:

α b K L 1 - α = λ ⋅ m 1 - α b L K α = λ ⋅ n

Vamos analisar isso mais a fundo?? 😉

Passo 5

Isolando λ em cada uma das expressões e igualando, temos:

λ = λ ∴

α b K L 1 - α m = 1 - α b L K α n

Reorganizando a expressão:

n α m 1 - α = L K α L K 1 - α ∴

n α m 1 - α = L K

Isolando L , teremos:

L = K n α m 1 - α

Passo 6

Aplicando esse valor de L na nossa restrição, teremos:

m L + n K = p ∴

m K n �� m 1 - α + n K = p

Isolando K , teremos:

K = 1 - α p n

Substituindo esse valor de K na mesma equação da restrição:

m L + n K = p ∴

m L + n 1 - α p n = p

Isolando L , vamos ter:

L = α p m

Resposta

Demonstração

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