A produção total de certo produto depende da quantidade de trabalho empregado e da quantidade de capital investido. Nas Seções 14.1 e 14.3 discutimos como o modelo Cobb-Douglas

segue a partir de determinadas suposições econômicas, onde e são constantes positivas e . Se o custo por unidade de trabalho for e o custo por unidade de capital for , e uma companhia puder gastar somente uma quantidade de dinheiro como despesa total, então a maximização da produção estará sujeita à restrição

Mostre que a produção máxima ocorre quando

E

Vamos então tirar os gradientes das nossas funções!

Primeiro vamos para a função :

Para calcular o gradiente , basta aplicarmos as derivadas parciais!!

Derivando em relação a , colocando as constantes para fora e aplicando a Regra da Potência, temos:

De forma análoga, derivando em relação a :

Assim, nosso gradiente é:

Agora vamos para a função :

Derivando com relação a , aplicando a regra da potência, obtemos:

Derivando em relação a de forma análoga:

Assim, nosso gradiente é:

Beleza, temos nossos gradientes, agora vamos encontrar um que satisfaça a equação.

Para isso, basta aplicarmos os gradientes que encontramos no passo anterior na equação que apresentamos no Passo 1:

Daí, vamos tirar que:

Reorganizando as expressões, obtemos:

Vamos analisar isso mais a fundo?? 😉

Isolando em cada uma das expressões e igualando, temos:

Reorganizando a expressão:

Isolando , teremos:

Aplicando esse valor de na nossa restrição, teremos:

Isolando , teremos:

Substituindo esse valor de na mesma equação da restrição:

Isolando , vamos ter: