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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.7 - Ex. 29

Calcule a integral, transformando para coordenadas cilíndricas.

29.

∫ - 2 2 ∫ - 4 - y 2 4 - y 2 ∫ x 2 + y 2 2 x z   d z d x d y

Passo 1

Fala, galera bonita! Tudo beleza?

A questão quer que a gente transforme e calcule a integral dada para coordenadas cilíndricas, essa aqui ó:

∫ - 2 2 ∫ - 4 - y 2 4 - y 2 ∫ x 2 + y 2 2 x z   d z d x d y

Se iremos trocar para cilíndricas, lembra que os limites de integração também mudarão. Show?

Primeiro, vamos nos lembrar do conceito de coordenadas cilíndricas... As relações entre coordenadas cilíndricas r , θ , z e coordenadas retangulares x , y , z são dadas da seguinte forma:

x = r cos ⁡ θ y = r sen ⁡ θ z = z x 2 + y 2 = r 2 d x d y d z = r d z d r d θ

Belê? 😉

Passo 2

No nosso caso, temos que a região de integração é acima do cone z = x 2 + y 2 ou z = r e abaixo do plano z = 2 .

Temos que

- 2 ≤ y ≤ 2

e

- 4 - y 2 ≤ x ≤ 4 - y 2

descrevem uma circunferência de raio 2 no plano x y com centro em 0,0 .

Então, vamos fazer a transformação:

E = r , θ , z | 0 ≤ θ ≤ 2 π ,   0 ≤ r ≤ 2 , r ≤ z ≤ 2

E com nossos novos limites de integração, ficaremos com:

∫ - 2 2 ∫ - 4 - y 2 4 - y 2 ∫ x 2 + y 2 2 x z   d z d x d y = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ r 2 r cos ⁡ θ z   r   d z d r d θ

Passo 3

Agora vamos calcular essa nossa integral:

∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ r 2 r cos ⁡ θ z   r   d z d r d θ

Organizando, temos

∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ r 2 r 2 cos ⁡ θ z   d z d r d θ

Integrando primeiro em relação a z :

∫ r 2 r 2 cos ⁡ θ z   d z

r 2 cos ⁡ θ z 2 2   r 2

Substituindo os limites de integração...

r 2 cos ⁡ θ 2 2 2 - r 2 cos ⁡ θ r 2 2

1 2 r 2 cos ⁡ θ 4 - r 2

Passo 4

Agora em relação a r :

∫ 0 2 1 2 r 2 cos ⁡ θ 4 - r 2 d r

Colocando para fora da integral alguns termos como se fossem constantes, teremos

1 2 cos ⁡ θ ∫ 0 2 r 2 4 - r 2 d r

Organizando nosso integrando:

1 2 cos ⁡ θ ∫ 0 2 4 r 2 - r 4 d r

1 2 cos ⁡ θ 4 r 3 3 - r 5 5 0 2

Substituindo os limites...

1 2 cos ⁡ θ 4 ⋅ 2 3 3 - 2 5 5 = 32 c o s θ 15

Passo 5

Por fim, em relação a θ :

∫ 0 2 π 32 c o s θ 15

Jogando para fora como uma constante...

32 15 ∫ 0 2 π cos ⁡ θ

32 15 s e n   θ 0 2 π = 32 15 ( sen ⁡ 2 π - sen ⁡ 0 )

32 15 0 - 0 = 0

Show de bola, né? 😊

Resposta

∫ - 2 2 ∫ - 4 - y 2 4 - y 2 ∫ x 2 + y 2 2 x z   d z d x d y = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ r 2 r cos ⁡ θ z   r   d z d r d θ = 0

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