Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.6 - Ex. 9
Calcule a integral tripla.
Onde
Passo 1
Falaa, galera!
Nesse exercício, precisamos calcular uma integral tripla:
Sob a região:
Pra resolver isso, a gente primeiro vai transformar essa integral tripla em uma integral iterada, usando os limites de cada variável que a região define, e depois calcular!
Algumas coisas que precisamos nos atentar nesse processo:
Primeiro, se os limites de integração de uma variável dependerem de outra, ela tem que ser feita antes! Por exemplo: se os limites de dependerem de , temos que integrar em função de antes de .
Além disso, lembrar que quando integramos em função de uma variável, as outras são consideradas constantes!
Então vamos lá!
Passo 2
Da nossa região de integração :
A gente tem os seguintes limites de cada variável:
Percebe que como os limites de dependem tanto de quando de , a gente vai ter que integrar em função de antes das duas outras, então vai ficar alguma coisa assim:
Ou
Só que como os limites de dependem de , temos que integrar em antes, então a integral iterada fica:
Passo 3
Calculando nossa integral de dentro pra fora, primeiro integramos em função de , considerando e constantes:
Como é constante, essa integral fica:
Substituindo nos limites de integração:
Podemos fazer a distributiva:
Passo 4
Agora integrando em função de , e é constante:
Podemos integrar direto:
E então:
Passo 5
Por último, integrando em função de :
Calculando nos limites:
E achamos o valor da integral: