Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.6 - Ex. 17

Calcule a integral tripla.

Passo 1

Nesse exercício, iremos analisar a seguinte integral:

∭ x d V

Sob a região E que é delimitada pelo parabolóide x = 4 y^2 + 4 z^2 e o plano x = 4 .

A imagem a seguir ilustra a região de interesse descrita no enunciado:

Dessa forma, com base na imagem, podemos reescrever a integral como:

int int int_(4 y^2 + 4 z^2)^4 x d x d y d z

Note que não especificamos um intervalo de integração para y e z ainda, não se preocupe, faremos isso na sequência, pois iremos mudar o sistema de coordenadas para o sistema polar, uma vez que a projeção da superfície E sobre o plano y z possui o formato de um disco. Iremos calcular a integral como uma integral iterada, dessa forma, começando por x :

int int [(1)/(2) x^2]_(4 y^2 + 4 z^2)^4 d A = (1)/(2) int int [4^2 - (4 y^2 + 4 z^2)^2] d A

Se substituírmos a equação do plano x = 4 na equação do parabolóide, obtemos:

4 = 4 y^2 + 4 z^2 -> y^2 + z^2 = 1

Que é a equação de um círculo ao redor da origem com raio 1.

Passo 2

Agora, conforme visto no passo 1, iremos mudar o sistema de coordenadas para o sistema polar, para isso, faremos y = r c o s theta , z = r s e n theta , dessa forma, temos:

(1)/(2) int int {4^2 - [4 (r c o s theta)^2 + 4 (r s e n theta)^2]^2} d A

E, utilizando a relação fundamental s e n^2 x + cos^2 x = 1 , obtemos:

(1)/(2) int_0^(2 pi) int_0^1 [16 - (4 r^2)^2] r d r d theta

E, simplificando, obtemos:

8 int_0^(2 pi) int_0^1 [1 - r^4] r d r d theta

Passo 3

Agora podemos separar as integrais em r e theta :

8 int_0^(2 pi) d theta int_0^1 (r - r^5) d r

Resolvendo as integrais simultaneamente, obtemos:

8 (2 pi) [(1)/(2) r^2 - (1)/(6) r^6]_0^1 = 16 pi {[(1)/(2) (1)^2 - (1)/(6) (1)^6] - [0]}

E, dessa forma o valor da integral é:

∭ x d V = (16 pi)/(3)

Resposta

∭ x d V = (16 pi)/(3)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.O sólido limitado pelos paraboloides y = x 2 + z 2 e y = 8 - x 2 - z 2
Calcule a integral tripla. ∭ E 6 x yd V Onde, E está abaixo do plano z = 1 + x + y e acima do plano x y limitada pelas curvas y = x , y = 0 e x = 1
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.O sólido limitado pelo cilindro x 2 + z 2 = 4 e pelos planos y = - 1 e y + z = 4
Calcule a integral iterada.
Calcule a integral iterada.