Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando a área em termos de integral de função de uma variável real e use sua calculadora para estimar a integral.

A parte da superfície que está dentro do cilindro .

Primeiro, vamos voltar pra nossa superfície:

A parte da superfície que está dentro do cilindro

Como estamos falando da superfície , essa vai ser nossa função:

O cilindro vai servir pra limitar essa função em um domínio .

Então vamos calcular as derivadas parciais. Lembrando que quando derivamos em função de uma variável, as demais ficam constantes:

Vamos ter que fazer a regra da cadeia:

Agora em função de :

De novo usando a regra da cadeia:

Substituindo na nossa fórmula:

Podemos abrir os quadrados:

E colocar em evidência:

Agora vamos olhar para o nosso domínio , que é limitado pelo cilindro . No plano , isso é um círculo de centro na origem e raio :

Então podemos fazer uma mudança de variável para coordenadas polares.

Para isso, vamos fazer as seguintes mudanças:

Como estamos no círculo inteiro, e de raio , os limites de e ficam:

Além disso, vamos lembrar que quando fazemos essa mudança de variáveis, a gente tem essa relação aqui:

Ela vem do .

Então vamos voltar pra integral:

Agora a gente pode fazer a mudança de variáveis, sem esquecer de multiplicar o jacobiano, que em coordenadas polares é .

Nossa integral fica assim:

Colocando os limites de integração de e :

Agora precisamos transformar isso em uma integral de uma variável.

Percebe que o integrando só depende de :

E a primeira integral é em função de ! Então podemos tirar esse integrando todo da primeira derivada:

Resolvendo essa integral:

Então a integral que define a nossa área é essa:

Vamos usar o WolframAlpha pra calcular isso:

Então temos que