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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 10.2 - Ex. 5

Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do parâmetro dado

x = t cos ⁡ t  

y = t sin ⁡ t  

t = π

Passo 1

Falaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar a derivada d y d x das seguintes equações paramétricas:

x = t cos ⁡ t  

y = t sin ⁡ t  

t = π

Para resolver isso, vamos utilizar a regra da cadeia, que é dada por:

d y d x = d y d t ∙ d t d x

Ou podemos escrever como (perdão, matemáticos kkkk... mas assim fica mais fácil de compreender):

d y d x = d y d t d x d t

Assim, substituindo as equações dadas, temos que resolver a seguinte expressão:

d y d x = d d t t sin ⁡ t d d t t cos ⁡ t    

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Calculando a derivada do denominador pela regra do produto, temos:

d d t t sin ⁡ t = t sin ⁡ t ' + t ' sin ⁡ t ∴

d d t t sin ⁡ t = t cos ⁡ t + sin ⁡ t

Passo 3

Calculando a derivada do numerador pela regra do produto, temos:

d d t t cos ⁡ t = t cos ⁡ t ' + t ' cos ⁡ t ∴

d d t t cos ⁡ t = - t sin ⁡ t + cos ⁡ t

Show! Então como fica nossa derivada?

d y d x = sin ��� t + t c o s   t cos ⁡ t + t ( - sin ⁡ t ) ∴

d y d x = sin ⁡ t + t c o s   t cos ⁡ t - t sin ⁡ t

Passo 4

Agora vamos aplicar nosso ponto para descobrir a inclinação da reta tangente

d d x f π =   sin ⁡ t + t c o s   t cos ⁡ t - t sin ⁡ t

d d x f π = 0 + π * - 1   - 1 - π * 0  

d d x f π = π  

Lembra como montamos uma equação de reta?

y - y 0 = a x - x 0

Onde esse ( x 0 ,   y 0 ) são nossos pontos iniciais. Como t =   4 é só a gente plotar esse numero nas nossas equações para x e y

x = t cos ⁡ t  

y = t sin ⁡ t  

Então fica :

x π = π * - 1 →   - π

y π = π * 0 → 0

Então

x 0 ,   y 0 = - π , 0

Logo nossa equação da reta fica

y - y 0 = a x - x 0

y = π   (   x + π   )

Show! Conforme você for resolvendo mais funções, mais vai pegando o jeito.

Terminamos por aqui, te vejo na próxima resolução 😉

Resposta

y = π   (   x + π   )

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