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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.6 - Ex. 37

Calcule a integral tripla usando apenas interpretação geométrica e simetria.

∭ C 4 + 5 x 2 y z 2   d V , onde C é a região cilíndrica x 2 + y 2 ≤ 4 , - 2 ≤ z ≤ 2 .

Passo 1

Fala, galera! Beleza?

Nessa questão, precisamos calcular uma integral tripla, mas sem integrar... vamos usar só interpretação geométrica e simetria.

Na interpretação geométrica, vamos precisar calcular o volume da nossa região, que é um cilindro. Então pra isso, vamos relembrar a fórmula do volume de um cilindro:

V c i l i n d r o = A b a s e × A l t u r a

Pra analisarmos essa integral por simetria, temos que ver as funções com paridade:

  • Funções ímpares, f - x = - f x , têm a propriedade que:

    • ∫ - a a f x d x = 0

  • Funções pares, f ( - x ) = f ( x ) , têm a propriedade que

∫ - a a f x = 2 ∫ 0 a f x

Percebe que podemos usar essas propriedades de paridade de funções quando temos regiões simétricas (por isso falamos de simetria).

Nessa questão específica, a gente vai começar separando nossa integral em duas, pra ficar mais fácil de analisarmos a simetria e geometria da região:

∭ C 4 + 5 x 2 y z 2   d V = ∭ C 4 d V + ∭ C 5 x 2 y z 2 d V

Agora vamos ver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 2

A primeira integral:

∭ C 4 d V

Como o integrando é uma constante, ele pode sair da integral e fica:

= 4 ∭ C d V =

E agora essa integral representa exatamente o volume da nossa região, já que:

V C = ∭ C d V  

Ou seja,

∭ C 4 d V = 4 ∙ V C

Bom, a região C é um cilindro:

x 2 + y 2 ≤ 4

Com z entre - 2 e 2 .

Pra facilitar o cálculo do volume, vamos ver o desenho dele:

Calculando o volume:

V C = A b a s e × A l t u r a

Nesse caso, a base é um círculo de raio 2 :

A b a s e = π ∙ 2 2 = 4 π

E a altura é a distância de - 2 até 2 :

A l t u r a = 2 - - 2 = 4

Então:

V c i l i n d r o = 4 π ∙ 4 = 16 π

E:

∭ C 4 d V = 4 ∙ 16 π = 64 π

Passo 3

Por último, vamos ver a segunda integral:

∭ C 5 x 2 y z 2 d V

Como agora nosso integrando não é uma constante, vamos analisar a paridade das funções que aparecem:

f x = x 2 e g z = z 2 são funções pares:

f - x = - x 2 = x 2 = f x

g - z = - z 2 = z 2 = g z

h y = y é uma fun��ão ímpar:

h - y = - y = - y = - h y

Vamos focar na variável y .

Percebe que se a gente voltar pro desenho, a gente vê que a nossa região é simétrica em y :

A região verde ( y ≤ 0 ) é igual a região azul ( y ≥ 0 ) só que espelhada.

Então podemos aplicar o fato que olhando por y , a integral vai dar zero!

Lembra que pra uma função ímpar:

∫ - a a f y d y = 0

Agora, se quando integrarmos em função de y a integral vai ser 0 , não importa quando vai dar a integral das outras variáveis! No final:

∭ C 5 x 2 y z 2 d V = 0

E então:

∭ C 4 + 5 x 2 y z 2   d V = ∭ C 4 d V + ∭ C 5 x 2 y z 2 d V

= 64 π + 0

∭ C 4 + 5 x 2 y z 2   d V = 64 π

Resposta

64 π

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