Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.Revisão - Ex. 23
Calcule o valor da integral múltipla.
Passo 1
Faaaala minha turminha, tudo na paz com vocês? Vamos nessa!!!
Precisamos determinar o valor da seguinte integral:
Onde é definido como:
Vamos pensar juntos em uma solução, beleza?!
Observe que temos uma integral tripla, e sabemos que pode ser escrita como:
Mas calma, que nem sempre vai estar nessa ordem, pois precisamos analisar os limites de integração.
Quando temos limites de integração que possui uma função, como é o caso da variação em e :
Devemos começar integrando por essas variáveis, para no final aplicar a integração na variável que possui somente números nos intervalos. Se não respeitarmos isso, não vamos conseguir obter o valor da integral, ela vai ficar em função de alguma variável , e .
Agora você já sabe como montar a integral, vamos nessa!!!
Passo 2
Nossa região de integração foi dada no enunciado. Ela é:
Como vimos no passo 1, começamos integrando sempre pelos intervalos com funções.
Logo podemos montar nossa integral da seguinte forma:
Agora devemos resolver a integral, lembrando que começamos a integrar de dentro para fora.
Vamos lá!!
Passo 3
Vamos começar integrando por .
Integrando, temos:
Aplicando os limites de integração, temos:
Simplificando:
Agora, ficamos com uma integral dupla. Integrando em , vamos ter:
Aplicando os limites de integração e simplificando, temos:
Por fim, ficamos com a integral simples a ser resolvida em . Integrando, temos:
Aplicando os limites de integração, temos:
Portanto, encontramos como resposta: