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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 15.Revisão - Ex. 8

Calcule a integral iterada.

int_0^1 int_0^y int_x^1 6 x y z d z d x d y

Passo 1

E aí meus queridxs, tudo bom com vocês? Pois bem, pra resolver essas integrais duplas devemos nos atentar para a ordem de integração. Para esse caso como temos ' d z d x d y ' vamos integrar primeiro em z depois em x e por fim em y , além disso, quando integrarmos em uma variável vamos considerar a outra como constante. Como assim?

Se liguem, se estivermos integrando em d x ( n a v a r i á v e l x ) vamos considerar as outras variáveis, no caso z e y , como constantes e poderemos calcular de igual maneira como fazíamos com uma integral simples.

Passo 2

Pois bem, tomemos a integral a ser resolvida que é

int_0^1 int_0^y int_x^1 6 x y z d z d x d y

E vamos resolvendo como se fossem integrais simples de ‘dentro pra fora’. Sendo assim, vamos encontrar

int_x^1 6 x y z d z = [(6 x y z^2)/(2)]_x^1 = 3 x y - 3 x^3 y

Agora, ficaremos com a seguinte integral dupla a ser resolvida

int_0^1 int_0^y 3 x y - 3 x^3 y d x d y

Procedendo de igual forma com a integral mais interna vamos ter

int_0^y 3 x y - 3 x^3 y d x = [(3 x^2 y)/(2) - (3 x^4 y)/(4)]_0^y = (3 y^3)/(2) - (3 y^5)/(4)

Por fim, teremos a integral simples a ser resolvida

int_0^1 (3 y^3)/(2) - (3 y^5)/(4) d y = [(3 y^4)/(8) - (3 y^6)/(24)]_0^1 = (3)/(8) - (1)/(8) = (1)/(4)

Pronto, tá resolvida nossa questão sem muitos problemas.

Resposta

(1)/(4)

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