Faala, pessoal!

Nessa questão, precisamos calcular uma integral usando interpretação geométrica e simetria.

Antes de mais nada, vale comentar que existe uma possibilidade de ter um erro nesse enunciado, e a integral certa ser:

Isso porque com nós não conseguimos resolver essa integral só com simetria e geometria, teremos que inevitavelmente calcular a integral...

De qualquer forma, vamos ver as duas possibilidades: com ou , como ficaria a resposta em cada caso.

Bom, seguindo:

Na parte de interpretação geométrica, vamos usar do fato de que

E no caso de ser uma esfera:

Com relação a simetria, vamos lembrar das características de paridade de funções:

• Funções ímpares, , têm a propriedade que:
• Funções pares, , têm a propriedade que

Percebe que podemos usar essas propriedades de paridade de funções quando temos regiões simétricas (por isso falamos de simetria).

Para essa questão, vamos precisar primeiro separar a integral em três:

Porque assim conseguimos analisar a geometria e simetria de cada uma dessas integrais.

Passo 2

Começando com a integral

• Caso o enunciado esteja, errado, essa integral seria:

E é uma função ímpar!

Ou seja, como a nossa região de integração é simétrica:

• Caso o enunciado esteja realmente certo, teremos:

E mesmo sendo uma função par:

Isso não nos dispensa de calcular a integral, no máximo faz com que a gente possa calcular só em metade da esfera e multiplicar por (o que não facilita as contas).

Inclusive, para resolver essa integral, precisamos usar coordenadas esféricas:

Com

Com jacobiano:

Então:

Integrando em função de :

Integrando em função de :

Integrando em função de :

Então:

Ou seja: